Question

设n阶方阵A和B满足AB–2B+3A=0,证明A-2E可逆,求A-2E的逆矩阵

Answer 1

您好！首先我们可以对AB–2B+3A=0进行变形得到：AB = 2B – 3A。接下来，我们将式子两边同时乘以 A-1 得到 B = 2A-1B – 3E，其中 E 为单位矩阵。将这个式子带回原式中，得到 A（2A-1B - 3E） - 2B + 3A = 0，即 2A2 - 5A + 2E = 0。

因此，我们得到了该方程的解为 A = E 或 A = 1/2。但是在原始方程中，如果 A=E，则它不满足 AB = 2B – 3A 的条件，因此只能有 A = 1/2。代入可得 2(1/2)^2 - 5(1/2) + 2E = 0，解得 E = (3/4)A - (5/8)E。

现在我们来求 A-2E 的逆矩阵。由于 A-2E 可逆，所以它的行列式不等于 0。我们可以使用矩阵伴随的方法得到它的逆矩阵。具体来说，设 C 为 A - 2E 的伴随矩阵，则 A-2E 的逆矩阵为 C/det(A-2E)，其中 det(A-2E) 为 A-2E 的行列式。

根据定义，C 的第 i 行第 j 列元素可表示为 (-1)i+j times Mij，其中 Mij 是 A-2E 去掉第 i 行第 j 列后的余子式。根据矩阵的性质，Mij = (-1)^(i+j) times det(Aij)，其中 Aij 为 A-2E 去掉第 i 行和第 j 列后的子矩阵。

因此，我们可以先计算出 A - 2E 的行列式和每个元素的余子式，再带入上述公式求得 C 和 det(A-2E)，最终得到 A-2E 的逆矩阵。

（以上由“知否AI问答”回复，可以免费直接访问体验）