Question

求解一道高数题 ，求由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2∏) 与横轴所围图形的面积 要过程

Answer 1

由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。

解：根据定积分求面积公式，以x为积分变量，

可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为，

S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))

=∫a^2(1 -cost)^2dt

又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为，

S=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt

=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt

=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt

=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)(1+cos2t)dt

=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt

=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)

=3π*a^2

扩展资料：

1、三角函数之间的变换关系

(cost)^2+(sint)^2=1，cos2t=2(cost)^2-1=1-2(sint)^2，sin2t=2sintcost

2、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质

（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。

（2）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。

（3）∫(a,b)(f(x)+g(x))dx=∫(a,b)f(x)dx+∫(a,b)g(x)dx。

3、定积分的应用

（1）解决求曲边图形的面积问题

通过图形边界求出x，y的区间，然后在区间中以x或者y为积分变量，进行面积的计算。

（2）求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

楼上的思路基本正确，积分时要将y,x转换为用t表示的函数。
我补充一下过程吧：
S=∫|y|dx
=∫a(1-cost)dx （∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0）
又∵x=a(t-sint)
∴dx=a(1-cost)dt
S=∫(0,2π) a²(1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1-cost)²dt
=a²∫(0,2π) (1+cos²t-2cost)dt
=a²∫(0,2π) [1+(1+cos2t)/2-2cost]dt
=a²∫(0,2π) (3/2+cos2t/2-2cost)dt
=a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)
=3πa²

Answer 3

面积=∫ydx，积分区间对应与0≤t≤2∏时x的范围即x从0到2πa（这个积分区间没用），然后将x=a(t - sint),y=a(1 -cost)代入，面积=∫a(1 -cost)da(t - sint)，t的范围从0到2π，展开积分即可，最后结果3πa的平方。