Question

求教一道高二数学椭圆题，高分，快~~~~（答对追加分~~~）

在椭圆上3X^2+4y^2=12是否存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称？如果存在，求出m的取值范围，否则说明理由。

Answer 1

解:本题可以采用设点法或设线法.
用设点计算更快一些.
3x^2+4y^2=12
设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2) 关于直线y=4x+m对称，
AB中点为M(x0,y0)。则
3x1^2+4y1^2=12
3x2^2+4y2^2=12
得 :3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
即 3*2x0*(x1-x2)+4*2y0*(y1-y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-3x0/4y0=-1/4.
得 y0=3x0.代入直线方程y=4x+m
得x0=-m,y0=-3m
因为(x0,y0)在椭圆内部。则3m^2+4(-3m)^2<12
解得 -2√13/13<m<2√13/13

Answer 2

假设存在，设A（x1，y1）B（x2，y2），带入3X^2+4y^2=12然后相减
有3（x1+x2）+4(y1+y2)*k'=0 k'=-1/4 设中点P（x0，y0）6x0-2y0=0 y0=3x0
又中点在直线y=4x+m上 y0=4x0+m x0=。。。y0=...（用m表示）
然后用P（x0，y0）求出直线AB用m表示 联立椭圆方程
要求判别式>0就可以求出m值范围，如果m值求不出就说明不存在

Answer 3

假设存在相异两点A,B关于直线y=4x+m对称，A(a,b)，B(c,d），A，B均在椭圆上，即有：
a^2/4+b^2/3=1
c^2/4+d^2/3=1
两方程联解，得到：
（a+c)(a-c)/4=(b+d)(d-b)/3 ——P
又A，B关于直线对称，则有A，B中点在直线y=4x+m上，且直线AB的斜率为-1//4，即有：
（b+d)/2=2*(a+c)+m ——Q
（d-b)/(c-a)=-1/4 ——M
联解PM得到a+c=（b+d)/3
代入Q式，得
m=-(b+d）/6
又有A,B两点在椭圆上，则有0≤b^2,d^2≤3
所以m的取值范围为负三分之根号三到三分之根号三