http://zhidao.baidu.com/question/209618677.html 这个题目第三问。。求数学帝给力。。出答案 来我加分啊
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lnx>1/e^x-2/ex等价于lnx+2/ex>1/e^x
记函数h(x)=lnx+2/ex，求导得h‘（x)=1/x-1/ex^2=-1/ex^2+1/x,
令t=1/x，因为x>0,所以1≥t>0
即有函数u(t)=-t^2/e+t（二次函数）
当0<t<e时，u(t)>0，即x>1/e时，h‘（x)>0，h(x)单调递增；
当t>e时，u(t)<0，即0<x<1/e时，h‘（x)<0，h(x)单调递减。
所以x=1/e是h(x)的极小值点，所以h(x)在x>0上的最小值为h(x)min=h(1/e)=1;
又因为1/e^x在x>0上的最大值为1（e^x单调递增，e^x最小为1(因为x>0）且取不到最小值）
所以有h(x)=lnx+2/ex≥1>1/e^x
即lnx+2/ex>1/e^x，
即对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e^x-2/ex成立
记函数h(x)=lnx+2/ex，求导得h‘（x)=1/x-1/ex^2=-1/ex^2+1/x,
令t=1/x，因为x>0,所以1≥t>0
即有函数u(t)=-t^2/e+t（二次函数）
当0<t<e时，u(t)>0，即x>1/e时，h‘（x)>0，h(x)单调递增；
当t>e时，u(t)<0，即0<x<1/e时，h‘（x)<0，h(x)单调递减。
所以x=1/e是h(x)的极小值点，所以h(x)在x>0上的最小值为h(x)min=h(1/e)=1;
又因为1/e^x在x>0上的最大值为1（e^x单调递增，e^x最小为1(因为x>0）且取不到最小值）
所以有h(x)=lnx+2/ex≥1>1/e^x
即lnx+2/ex>1/e^x，
即对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e^x-2/ex成立
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