Question

琴生不等式证明基本不等式

求教如何用琴生不等式证明基本不等式？

Answer 1

zjpzjpzjp12345 ，你好：
琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件） 设f(x)为凸函数，
则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);
f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸), 称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为： f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 要使用jensen 不等式，你就必须先判定一个式子是凸性的，分上凸和下凸两种。

凸函数的概念：【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数，或下凸函数。 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或上凸函数。 同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说， 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n) 如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 现在我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凹函数加以证明。 首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法 假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1) (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n =((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 >=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 >=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) =f((x1+x2+...+xn)/n) 所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。 现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n 然后我们设 x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。 现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 (x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 显然，我们可以查看函数f(x)=x^2 由于 (f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凹函数 所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn, 有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n) 也就是n阶平方平均不等式。 从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

Answer 2

如果要证明 算数平均大于几何平均

可以取 f 为 e的x次方
m1 m2 为 0.5
x1，x2 为 lnA， lnB

几乎不用化简就能得到
（A＋B）/2 ≥ √AB
就是基本不等式

其他由该不等式延伸的不等式
也可以取其他的 函数 以及 m序列 和 x序列 几乎一步证明
用到的可能有 反比例函数 二次函数