Question

初中直角三角形的题目

已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且2b=a+c，延长CA至D，使AD=AB，连接BD。
（1）求证2∠D=∠BAC
求tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA

Answer 1

证明：（1）很明显，
AB=AD
∠D=∠ABD
∠BAC=∠D+∠ABD
∠BAC=2∠D
(2)过点B做BE垂直AC于E
作∠C的平分线交BE于F
设AE=x
在直角三角形ABE和直角三角形CBE中
BE²=AB²-AE²
BE²=BC²-CE²
AB²-AE²=BC²-CE²
c²-x²=a²-（b-x）²
c²=a²-b²+2bx
x=（c²+b²-a²）/2b
x=[（c+a）（c-a）+b²]/2b
2b=c+a
AE=x=（5c-3a）/4
CE=b-x=（c+a）/2-（5c-3a）/4=（5a-3c）/4
DE=c+x=c+（5c-3a）/4=（9c-3a）/4
∠D=1/2∠BAC(已证)
tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA=BE/DE×EF/EC
在直角三角形CEB中，根据角平分线的性质
BC/CE=BF/EF
BF/EF=a/（5a-3c）/4=4a/（5a-3c）
(BF+EF)/EF=(9a-3c)/（5a-3c）
BE/EF=(9a-3c)/（5a-3c）
EF=（5a-3c）/（9a-3c）BE
所以
tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA=[（5a-3c）/（9a-3c）BE²]/(DE×EC)
BE²=AB²-AE²=c²-（5c-3a）²/16=（30ca-9a²-9c²）/16
所以
tan1/2∠BAC×tan1/2∠BCA
=[（5a-3c）/（9a-3c）×（30ca-9a²-9c²）/16]/[(5a-3c)/4×（9c-3a）/4]
=[(9a²-30ac+9c²)/(9a-3c)(3a-9c)]
=(3a²-10ac+3c²)/[3(3a-c)(a-3c)]
=(a-3c)(3a-c)/[3(3a-c)(a-3c)]
=1/3