Question

高中数学题 圆锥曲线 求解！

椭圆C：X²/4+y²/3=1，对于直线y=4x+m，C上有不同的两点关于它对称，求m的取值范围。

Answer 1

设A（x1，y1）B（x2，y2），带入3X^2+4y^2=12然后相减
有3（x1+x2）+4(y1+y2)*k'=0 k'=-1/4 设中点P（x0，y0）6x0-2y0=0 y0=3x0
又中点在直线y=4x+m上 y0=4x0+m x0=。。。y0=...（用m表示）
然后用P（x0，y0）求出直线AB用m表示 联立椭圆方程
要求判别式>0就可以求出m值范围，如果m值求不出就说明不存在对称

Answer 2

不妨设交点是A（x1,y1)B(x2,y2)中点坐标是（x0，y0）则AB直线方程设可设为y=-1/4x+b
x1^2/4+y1^2/3=1①
x2^2/4+y2^2/3=1②
y1=-1/4x1+b③
y2=-1/4x2+b④
①-②，得
(x1-x2)(x1+x2)/4+（y1-y2)(y1+y2)/3=0
③-④，得
y1-y2=-1/4(x1-x2)把y1-y2整体代入上式，提取公因式（x1-x2)得
（x1-x2)（2x0/4+-1/4*2y0/3)=0
由于x1不等于x2,所以，
1/2 x0-1/6y0=0
又 y0=4x0+m
解得 x0=-m y0=-3m
x0^2/4 +y0^2/3<1
m^2<4/13
所以， -2√13/13<m<2√13/13

Answer 3

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