Question

函数y=根号下x²+1 +根号下x²-4x+8的最小值是

Answer 1

y=√(x²+1)+√(x²-4x+8)
=√(x²+1²)+√(x-2)²+2²

问题转化为x轴上一点P（x,0）与点A（0,1）B（2,2）的距离和的最小值。
（你自己画出图来就很好理解的）
设点B1为B的对称点，则B1=（2，-2）
那么AB1为PA+PB的最小值
所以函数y=根号下x²+1 +根号下x²-4x+8的最小值是
√(0-2)²+(1+2)²=√13 （两点间的距离公式）

Answer 2

由题可以知道：
y=根号下(x²+1) +根号下[(x-2)^2+4] 可以知道函数y连续可导
求导：y1=2x/根号下(x²+1) +2(x-2)/根号下[(x-2)^2+4]
令y1=0 得到：x=0 或 x=2 得到函数y在0和2处取的极值
把x=0 或 x=2 分别代入表达式中就可以得到两个极值1+根号（8）和根号（5）+2
其中较小的1+根号（8）就是最小值咯！

Answer 3

整理可得：
y=√{(x²+1²)+√[(x-2)²+4]}
简写为：
y=√（A+√B）
显然，y的最小值是当A+√B最小时
容易看出，A>0，而且B>0
所以，当A最小时，则A+√B最小
得出：x=0时，y的最小值 ==√（1+2√2）