Question

高等数学求面积题目，做不对，求高手指点迷津

这类题目我的做法是先求导数，求出切线斜率，然后用两点式吧x0,y0代入，然后求切线与X轴的交点，然后根据交点X的值，用切线跟抛物线，组成一个定积分，解定积分，得到一个方程，然后令方程=f(x0)，x0是自变量，然后求导数，然后让导数为0，求最小值，然后再求得y0,。

这个思路不知道哪里错了，怎么求都求不出答案来，而且做一次就要用两张A4纸，有没有快捷方便一点的方法？做这种题一般思路是怎样的？
4楼答案对了
但是
设f(x)=(x^2+1)^2/x
f'(x)=[2(x^2+1)*2x*x-(x^2+1)^2]/x^2
=(x^2+1)(3x^2-1)/x^2
令f'(x)=0得：x=1/√3或x=-1/√3
故f(x)即S在x=1/√3最小
哪里冒出来的？抄答案了吧？
明明应该是f(a)==(a^2+1)^2/(4a)-2/3
再求导吧？混乱了。。不会做了。。越高越迷糊。。。

Answer 1

如图所示

Answer 2

我没怎么研究过，有些看法，考虑对称，不妨x>0.抛物线与坐标轴围成面积能求的=-1/3+1=2/3,而切线为y-y。=-2x。(x-x。)，又y。=-x。^2 +1，所以s三角线=（x。方+1）方/4x。，导=0时，得x。方=（1，根2）-1，所以答案为（根（（根2）+1））/2-2/3，约0.11.我们省高中不学定积分，我能力有限哈

Answer 3

这道题应该这样来做
舍切点坐标为x，y.则切线斜率为-2x，切线方程为（ ），与x轴y轴为成的面积为（）。
因为抛物线第一象限的部分与x轴围成的面积固定，可以求出（），所以两个面积相减，在求导，就可以得到答案了

Answer 4

解：设切线方程为y=kx+b，p(m,1-m²)在第一象限所以 0<x<1
y=-x²+1 y'=-2x (0<x<1) 所以k=-2m
切线方程为y=-2mx+b
将(m,n)代入得：
b=2m²+1-m²=m²+1
切线方程为y=-2mx+m²+1
切线与y轴交点A(0，b)，
|OA|=m²+1
其与x轴的交点B是y=0，x=(m²+1)/2m，
|OB|=(m²+1)/2m
切线、坐标轴、抛物线围成的面积是切线与坐标轴围成的Rt△的面积与抛物线和坐标轴围成的曲边三角形面积之差。抛物线方程是恒定的，也就是说曲边三角形的面积是一定的，只要保证Rt△AOB面积最小就可以了，其中O为坐标原点。
S△AOB=0.5×OA×OB=(m²+1)²/4m
求该式的最小值：
f(m)=(m²+1)²/4m
f'(m)=[2(m²+1)*2m*4m-4(m²+1)²]/16m²
=(m²+1)(16m²-4m²-4)/16m²
=(m²+1)(3m²-1)/4m²
令f'(m)=0
(m²+1)(3m²-1)/4m²=0
m²=1/3
因为1>m>0
所以m=√3/3是f(m)唯一驻点，此时取得最小值
n=1-m²=2/3
所以P点坐标为(√3/3，2/3)

Answer 5

抛物线在第一象限面积是固定的，所以你求出切线与坐标轴围成的三角形面积为最小就行。
先求出切线，然后求与两坐标轴的交点，相乘得到面积，再结合抛物线方程得到面积的一元函数，
最后求导求最小值。

Answer 6

此题你的思路没错，但好像忽略了点，与坐标轴所围面积，还包括与y轴所围。
设P点坐标为(a,-a^2+1)，y'=-2x，切线斜率为-2a，切线方程为
y=-2a(x-a)-a^2+1=-2ax+a^2+1
它与x轴与y轴的交点为：((a^2+1)/(2a),0)、(0,a^2+1)
y=-x^2+1与x轴正向交点为x=1
切线与抛物线和坐标轴所围图形的面积为
S=(a^2+1)/(2a)*(a^2+1)/2-∫(0,1)(-x^2+1)dx
=(a^2+1)^2/(4a)-(-1/3*x^3+x)|(0,1)
=(a^2+1)^2/(4a)-2/3
设f(x)=(x^2+1)^2/x
f'(x)=[2(x^2+1)*2x*x-(x^2+1)^2]/x^2
=(x^2+1)(3x^2-1)/x^2
令f'(x)=0得：x=1/√3或x=-1/√3
故f(x)即S在x=1/√3最小
这种简单问题也去抄，那是白浪费大学的教育资源，且找答案的时间自己早做出来了。
再和你说详细点吧：此题只需在x>0内讨论，只有一个极值时，极值就是最值。
方法！：因x=-1/√3左边，f'(x)<0，右边f'(x)>0，故是极小值点，也就是最小值点
方法2：求二阶导，可算出f''(1/√3)>0，故是极小值点，也就是最小值点
方法3：根据实际情况判断，此题有最值，只能是最小值。此时可不用前两个方法。