Question

不等式难题

如图
谢谢大家

Answer 1

a,b,c∈[1,2],1／a,1／b,1／c∈[½,1]
a²+b²+c²≥ab+bc+ac(a,b,c∈实数)
（a²+b²+c²）／3≥[(a+b+c)／3]²(柯西不等式)
即（x²+y²+z²）／3≥[(x+y+z)／3]²(x,y,z为实数)
令x=1／a,y=1／b,z=1／c.注意范围。x,y,z∈[½,1]
再推一下就出来了。
另解：
a,b,c∈[1,2],得a≥1／a≥1／a²,另两个同理。
右=27／（a＋b＋c）≥3／a＋3／b＋3／c≥3(1／a²＋1／b²＋1／c²)当且仅当a=b=c=1时取等号。
左=1／a²＋1／b²＋1／c²+2／ab＋2／bc＋／ca≤3(1／a²＋1／b²＋1／c²)当且仅当a=b=c=1时取等号。
所以27／（a+b+c）≥（1／a＋1／b＋1／c）²成立。