Question

用定义证明函数F(x)=x/1+x^2在区间(-1,1)上是增函数

注意是用定义证明！

Answer 1

在区间(-1,1)上，任取x1、x2，使-1<x1<x2<1，则：
F(x1)-F(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
= (x1-x2)(1+x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)。
因为-1<x1<x2<1，所以 x1-x2<0，-1<x1x2<1 ， 1+x1x2>0 ， (1+x1^2)>0 ，(1+x2^2)>0。
所以 F(x1)-F(x2)<0 即 F(x1)<F(x2) 。
故在区间(-1,1)上，-1<x1<x2<1时，F(x1)<F(x2)。
所以 函数F(x)=x/（1+x^2）在区间(-1,1)上是增函数 。

Answer 2

题目应为：用定义证明函数F(x)＝x／（1＋x^2）在区间(－1，1)上是增函数。
解：
题设－1＜x＜1
再设Δx＞0，x＋Δx＜1
∵－1＜x＜1，－1＜x＋Δx＜1
∴x（x＋Δx）＜1
1－x^2－xΔx＞0
∴F（x＋Δx）－F（x）＝（x＋Δx）／〔1＋（x＋Δx）^2〕－x／（1＋x^2）
＝Δx（1－x^2－xΔx）／｛（1＋x^2）〔1＋（x＋Δx）^2〕｝＞0
∴F（x）＝x／（1＋x^2）在区间（－1，1）上是增函数。

Answer 3

楼上的 写好了么 最近怎么请求这么多？？