Question

求问这道定积分怎么算🥺

把它写成csc2xd2x之后，原函数是ln |csc2x-cot2x|，然后最后算的是ln根号3，但是答案是1/2ln3，不知道具体怎么做

Answer 1

😳问题 :∫(π/4->π/3) dx/(sinx.cosx)

👉定积分定义：

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 ∑(i:1->n) f(ξi)△xi

。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分

1. 『例子一』∫(0->1) dx =[x]|(0->1) =1

2. 『例子二』∫(0->π/2) cosx dx =[sinx]|(0->π/2) =1 
   

3. 『例子三』∫(0->1) xdx =(1/2)[x^2]|(0->1) =1/2

👉 回答 ： 

∫(π/4->π/3) dx/(sinx.cosx)

• 利用  sin2x = 2sinx.cosx

=2∫(π/4->π/3) dx/sin2x

• 利用  1/sin2x = csc2x

=2∫(π/4->π/3) csc2x dx

• 利用 2dx = d2x

=∫(π/4->π/3) csc2x d2x

=[ln|csc2x-cot2x|]|(π/4->π/3)

• 代入积分上下限

=ln|2/√3 + 1/√3| - ln|1-0|

=(1/2)ln3

😄: 结果  ∫(π/4->π/3) dx/(sinx.cosx) =(1/2)ln3