高中数学立体几何问题
在正四棱锥S-ABCD中,底面ABCD的边长为a,侧棱为2a,P.Q分别在BD和SC上，且PB:PD=1:2，PQ//面SAD.求线段PQ的长....
在正四棱锥S-ABCD中,底面ABCD的边长为a,侧棱为2a,P.Q分别在BD和SC上，且PB:PD=1:2，PQ//面SAD.求线段PQ的长.
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过P在平面ABCD上作直线PR‖AD交CD于R，连接RQ
则PR‖面SAD
又因为PQ‖面SAD
∴ 面PQR‖面SAD
故RQ‖SD
由△DPR∽△DBC可得PR=2a/3，且CR：RD=1：2
由△CQR∽△CSD可得RQ=2a/3
∵RQ‖DS，RP‖DA，∴∠QRD=∠SDA
在△SAD中，SA=SD=2a，AD=a，容易求得cos∠SDA=1/4
∴cos∠QRP=1/4
在△QRP中利用余弦定理得：
PQ²=QR²+PR²-2QR·PR·cos∠QRP=2a²/3
∴PQ=[(√6)/3]a
则PR‖面SAD
又因为PQ‖面SAD
∴ 面PQR‖面SAD
故RQ‖SD
由△DPR∽△DBC可得PR=2a/3，且CR：RD=1：2
由△CQR∽△CSD可得RQ=2a/3
∵RQ‖DS，RP‖DA，∴∠QRD=∠SDA
在△SAD中，SA=SD=2a，AD=a，容易求得cos∠SDA=1/4
∴cos∠QRP=1/4
在△QRP中利用余弦定理得：
PQ²=QR²+PR²-2QR·PR·cos∠QRP=2a²/3
∴PQ=[(√6)/3]a
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