Question

高二数学题，属于均值定理的题目

已知x,y均是正实数，且x/3+y/4=1,求x×y的最大值，答案是3，但不知道为什么算出来老师144/49

Answer 1

16x^2+9y^2+24xy=144
24xy=144-(16x^2+9y^2)
又由均值定理:16x^2+9y^2>=24xy, 即-(16x^2+9y^2) <= -24xy
所以24xy <= 144-24xy
xy<=3
这是通常的算法，也是不动脑筋的算法

有一个很重要的点，不知道你注意了或者老师讲过了吗？
当a+b为一个定值，且a、b均为正数时，那么a*b的最大值出现在a=b时
这道题同理，简便算法:求xy的最大值，即求xy/12的最大值
其最大值出现在x/3=y/4时，此时x=3/2, y=2，即xy最大值为3

而你们老师的算法是:假定x=y时出现最大值(此时得到x=y=12/7,即xy=144/49)，这就错了，应该假定是我上面写的x/3=y/4时

Answer 2

【注：可用“换元法”】解：∵x,y＞0.且(x/3)+(y/4)=1.∴可设x=3cos²t,y=4sin²t,(t∈R),===>xy=12sin²tcos²t=3sin²(2t).∵0≤sin²(2t)≤1.===>0≤3sin²(2t)≤3.===>0＜xy≤3.∴(xy)max=3. 【解法二】解：∵x,y＞0,且(x/3)+(y/4)=1.∴由基本不等式可知1=(x/3)+(y/4)≥2√[(x/3)(y/4)=√(xy/3).===>√(xy)≤√3.===>xy≤3.等号仅当(x/3)=(y/4)=1/2时取得，即当x=3/2,y=2时取得。∴（xy)max=3.

Answer 3

因x/3+y/4=1，故 x=（1-y/4）*3；
令z=x*y，则z=（1-y/4）*3*y；
令（1-y/4）*3*y=0，即y1=0，y2=4；
画出z=（1-y/4）*3*y的函数图，可以看出
当y取2时，z的值最大；
得z=3.