Question

证明矩阵方程ATAX=ATB一定有解！

设A为mxn矩阵，X为nxl矩阵且未知，B为mxl矩阵，试证明矩阵方程ATAX=ATB一定有解。

Answer 1

增广矩阵B=(A'A,A'b)＝A'(A,b),R(B)≤R(A')=R(A)

系数矩阵A'A的秩R(A'A)＝R(A)≤R(B)

所以R(A)=R(B),方程组A'Ax=A'b一定有解

比较清晰的理解方式是利用奇异值分解A=USV^T，中U和V是正交阵，S是非负的对角阵（并且可以要求S的对角元递减）。

A^TAx=A^Tb <=> VS^TSV^Tx=VS^TU^Tb <=> S^TSV^Tx=S^TU^Tb

显然这个方程总是有解的，如果S的恰好前r个对角元非零（以下总按这个假设），并且要求x的r+1,r+2,...,n的分量为0的话解还是唯一的。

扩展资料：

对于矩阵方程，当系数矩阵是方阵时，先判断是否可逆。如果可逆，则可以利用左乘或右乘逆矩阵的方法求未知矩阵，如果方阵不可逆或是系数矩阵不是方阵，则需要用矩阵的广义逆来确定矩阵方程有解的条件，进而在有解的情形求出通解。

举个例子：

1 3 2 …… 3 4 －1

2 6 5 * X = 8 8 3

-1 -3 1 ……－4 1 6

上列就是个矩阵方程。

参考资料来源：百度百科-矩阵方程

Answer 2

引理R(ATA)=R(A),显然有AX=0与ATAX=0同解，故得证！
等价于证明R(ATA)=R(ATA,AB)
R(A)=R(ATA)<=R(AT(A,B))<=R(AT)=R(A)
于是得所证！

Answer 3

只要B在span(A)（A的列向量张成的空间）中的投影是AX就可以了。或者可以直接用X=(A'A)的广义逆乘以A‘B。
这个其实就是统计中的最小二乘估计的内容了