数学小论文
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模式识别
§2-1模式识别及识别的直接方法
在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。
一、模糊模式识别的一般步骤
模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。
模式识别主要包括三个步骤：
第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设 分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象 就对应一个向量 ，这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。
第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域 的模糊集， 是识别对象的第 个特征。
第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。
二、最大的隶属度原则
若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。
最大隶属度原则：设 是 个标准类型， ，若
则认为 相对隶属于 所代表的类型。
例1 通货膨胀识别问题
通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用 (非负实数域,下同)上的模糊集 表示,其隶属函数分别为:
其中对 ,表示物价上涨 。问 时，分别相对隶属于哪种类型？
解 ，
，
，
，
由最大隶属原则， 应相对隶属于 ，即当物价上涨 时，应视为轻度通货膨胀； ，应相对隶属于 ，即当物价上涨 时，应视为恶性通货膨胀。
三、阈值原则
在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象 关于模糊集 中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合 对元素 不能识别；其二是有时待识别对象 关于模糊集 中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小 的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。
阈值原则： 是 个标准类型， 为一阈值（置信水平）令
若 则不能识别，应查找原因另作分析。
若d且有 ， … 则判决 相对地属于
例2 三角形识别问题
我们把三角形分成等腰三角形 ,直角三角形 , 正三角形 ,非典型三角形 ,这四个标准类型,取定论域
这里 是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：
现给定， ， 对上述四个标准类型的隶属度为：
由于 关于 , 的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取 ，因 ， ，按阈值原则， 相对属于 ∩ ,即 可识别为等腰直角三角形。
例3 癌细胞识别
在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞 ，重度核异质细胞 ，轻度核异质细胞 ，正常细胞
选取表征细胞状况的七个特征：
根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是 上的模糊集：
上述 是适当选取的常数
细胞识别中的几个标准类型分别定义为：
上述定义中的模糊集 的隶属函数为 。另两个模糊集 、 的隶属函数类似定义。
给定待识别细胞 ，设 的核面积等七个特征值为 据此可算出 、 、 、 ，最后按最大隶属度原则识别。
例4 冬季降雪量预报
内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。
为描述“夏热” 、秋霜晚 、秋分刮西北风 等概念，在气象现象中提取以下特征：
：当年6~7月平均气温
：当年秋季初霜日期
：当年秋分日的风向与正西方向的夹角。
于是模糊集 （夏热）， （秋霜晚）、 （秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为：
其中 是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值， 为方差，实际预报时取 = =0.98
其中 是若干年秋季初霜日的平均值， 是经验参数，实际预报时取 =17（即9月17日）， =10（即9月10日）。
取论域 ，“冬雪大”可以表示为论域 上的模糊集 ，其隶属函数为：
∧ ∨
采用阈值原则，取阈值 ，测定当年气候因子 。计算 ，若 则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。
用这一方法对丰镇1959~1970年间隔12年作了预报，除1965年以外均报对，历史拟合率为11/12。
§2-2 贴近度与模式识别的间接方法
一、贴近度
表示两个模糊集接近程度的数量指标，称为贴近度，其严格的数学定义如下：
定义1 设映射
:
满足下列条件：
(1) ，
(2) ，
(3) 若 满足
有
则称映射 为 上的贴近度，称 为 与 的贴近度。
贴近度的具体形式较多，以下介绍几种常见的贴近度公式
（1） Hamming 贴近度
或
（2）Euclid贴近度
或
（3）格贴近度
定义7 映射
⊙ ，（或= ⊙ ）
称为格贴近度，称 为 与 格贴近度。其中，
(称为 与 的内积)
⊙ (称为 与 的外积)
若 ，则
⊙
值得注意的是，这里的格贴近度是通过定义来规定的，事实上，格贴近度不满足定义1中(1)，即 ，但是，当 时，格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴近度的计算很方便，且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效，所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。
还有许多贴近度，这里不在一一介绍。
贴近度主要用于模糊识别等具体问题，以上介绍的贴近度表示式各有优劣，具体应用时，应根据问题的实际情况，选用合适的贴近度。
二、模式识别的间接方法——择近原则
在模式识别问题中，各标准类型（模式）一般是某个论域 上的模糊集，用模式识别的直接方法（最大隶属度原则、阈值原则）解决问题时，其识别对象是论域 中的元素。另有一类识别问题，其识别对象也是 上的模糊集，这类问题可以用下面的择近原则来识别判决。
择近原则：已知 个标准类型 、 、…、 ， 为待识别的对象， 上的贴近度，若
则认为 与 最贴近，判定 属于 一类。
例5 岩石类型识别
岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差（ ）、差（ ）、较好（ ）、好（ ）、很好（ ）。它们都是 上的模糊集，其隶属函数如下（图2-1）
0 200 400 600 900 1100 1800 2000
图 2-1
今有某种岩体，经实测得出其抗压强度为 上的模糊集 ，隶属函数为（图2-3）。
图 2-3
试问岩体 应属于哪一类。
计算 与 的格贴近度，得：
按择近原则， 应属于 类，即 属于“较好”类（ 类）的岩石。
例6 小麦亲本识别
在小麦杂交育种过程中，亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本，它们是：
：早熟型， ：矮杆型， ：大粒型，
：高肥丰产型， ：中肥丰产型。
判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征：
：抽穗期， ：株高， ：有效穗数，
：主穗粒数， ：百粒重。
第 种类型亲本的第 个特征，是模糊集 ，这些模糊集除 （早熟型的抽穗期）与 （矮杆型的株高）外，其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计，将正态分布函数展开，取前两项作它的近似值，则有
于是 的隶属函数可表示为：
而 ， 的隶属函数取为偏小值型：
为确定隶属函数中的参数值，在熟知的标准类型中，每类型选出 个新本为样本，分别计算各样本的第 个特征的均值 及方差 ，取
以上参数值见表（2-1）
表 2-1
亲本
参数
性状 早熟 矮杆 大粒 高肥丰产 中肥丰产
抽穗期 - 6.7 1.1 5.5 9.6 1.0 5.8 11.9 1.2 5.2 11.3 0.9 5.1 8.9 1.2
株高 67.1 87.7 50.0 - 70.0 72.4 67.9 90.9 52.2 67.9 81.2 35.9 76.5 84.6 57.5
有效穗数 9.1 11.2 18.1 8.3 18.2 10.8 9.4 13.2 15.6 9.8 13.2 11.3 7.2 13.2 5.8
主穗粒数 40.2 55.0 92.0 37.5 52.5 80.7 44.2 54.5 21.2 41.2 51.0 13.3 37.6 48.3 93.9
百粒重 3.0 4.4 0.3 2.4 3.4 0.3 4.0 6.0 0.3 3.6 4.2 0.3 3.3 4.0 0.2
现有一待识对象 ，它的第 个特征 是中间型正态分布模糊集，隶属函数可近似表示为：
。
式中参数值见表（2-2）
表 2-2
特性
参数 抽穗期 株高 有效穗数 主穗粒数 百粒重
8.5 85.6 6.2 36.2 3.43
1.5 4 1.9 70 0.28
计算识别对象 的第 个特征与第 种标准类型对应特征 的格贴近度 并定义第 种标准类型 与识别对象 的贴近度为：
计算结果列于表（2-3）
表 2-3
早熟（ ）
矮杆（ ）
大粒（ ）
高肥（ ）
中肥（ ）
( ， )
0.50 1.00 1.00 1.00 1.00
( ， )
1.00 0.00 1.00 0.76 0.99
( ， )
1.00 0.88 0.77 0.64 0.96
( ， )
0.23 0.98 0.89 0.83 0.98
( ， )
1.00 1.00 0.98 1.00 1.00
( ， )
0.23 0.00 0.77 0.64 0.96
表（2-3）的最后一行为 与各标准类型的贴近度。由于 与 的贴近度最高（0.96），故判定识别对象 为 代表的类型，即 为中肥丰产类型的亲本。
例7 遥感土地复盖类型分类
遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理，来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面0.45公倾地物的综合。遥感图象识别分类中，要涉及不少模糊概念，例如，“以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。
美国爱达荷大学R.C.Heller 教授指出，国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位（即标准类型）时，空间遥感的分类精度可达83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时，精度就不理想了。
现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型：
：公路， ：村庄农田， ：红松为主的针叶林，
：阔、针混交林， ：白桦林。
对于多波段遥感技术，假设采用 个波段，则每一地物对应一个 维数据向量 。1975年1月22日美国发射LandSat-2，提供了MSS-4，5，6，7这四个波段的数据，故有 。取论域
其中 分别为象元对应于MSS-4，5，6，7各波段的光谱强度。于是五种标准类型 可表为 上的模糊集。
由于各波段光谱强度是正态分布模糊集，故第 个标准类型的（ +3）波段光谱强度的隶属函数为：
定义第 种标准类型 为：
因而
其中 为若干个第 种类型第（ +3）个波段光谱强度的均值， 为方差，东北凉水林场的这些参数值见表（2-4）
表 2-4
标准类型 MSS-4 MSS-5 MSS-6 MSS-7
19.06 0.56 18.24 1.60 51.24 4.32 25.24 1.98
21.89 2.88 24.68 4.82 47.37 4.09 21.63 2.39
15.46 1.22 12.58 0.88 36.54 3.55 17.33 2.08
16.22 0.64 12.78 0.58 42.41 2.87 21.22 1.50
17 0.82 13.2 0.42 45 0.94 23.20 0.42
设 为识别对象，定义 与 的贴近度为：
（1）
其中 = ⊙ （2）
表 2-5
类型
N
识别对象
max 判别
结果 效果
0.92 0.72 0.50 0.50 0.50 0.92
正确
0.65 0.99 0.50 0.50 0.50 0.99
正确
0.50 0.50 0.99 0.60 0.50 0.99
正确
0.50 0.50 0.61 0.99 0.65 0.99
正确
0.50 0.50 0.50 0.62 0.89 0.89
正确
按 及 ⊙
（3-26）
（这里 与 是 的均值与方差）。
现有东北凉水林场空间遥感象元（待识别对象）五个，按（1）与（2）计算它们与五个标准类型的贴近度，计算结果在表（2-5）按择近原则进行识别判决，准确率100%。
例8 雷达识别
现有 个雷达类，每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画，假设共有 个特征，第 类雷达的第 个特征可以取 个值。由于保密的需要及信号环境的日益复杂，这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第 类 雷达的 个特征为 类雷达的第 个特征 取值为 ，其隶属函数为中间型柯西分布，即
设 为待识别对象，它的 个特征为 的第 个特征 的隶属函数也取中间型柯西分布：
采用格贴近度，令
则 为识别对象 的第 个特征与 类雷达第 个特征贴近程度的度量。
一般情况可令
（ 是各 的加权平均值，权系数 表示 个特征的重要性程度） 可作为识别对象 与第 类雷达总贴近的度量。根据 的大小可判定 属于何类雷达，但是，由于权系数 的确定有一定的模糊性， 及 的隶属函数的确定带有一定的主观性，从而导致贴近度 有一定的模糊性。因此对 及 进行模糊化处理，设
这里 ， 都是 模糊数（见第五章），取 。
令
的隶属函数为
则 为识别对象 与第 类雷达的贴近程度的模糊测度。
为得到 所属雷达类别的确切判决，类似于阈值法则，给定水平值 ，令
若 且 唯一，则判定 为 类雷达；
若 且 ，则判定 为 类雷达。
用上述方法（将权系数及贴近度模糊化），经上千次仿真试验，比传统的贴近度及线性加弘平均法，误判率有所下降。
第三章 模糊规划
§3-1 模糊极值
一、有界函数的模糊极值
设 （ 为实数集）
是有界函数，求函数 的普通极值问题是求 使
满足上式的 为 在 上的最大值点， 为最大值，最大值点不一定唯一.
设 的一切最大值点的集合为
称 为 的优越集.当 时，函数在 处取到最大值 ， 使 达到最优.当 时， 虽不是最大值，但对不同的 ， 与最大值的差异有所不同,也就是说，对于不属于 的 ，它们的“优越性”程度有所不同，为了反映 中各点不同的优越程度，将优越集 模糊化，并利用它将极值模糊化.
定义1设 是有界函数，定义 的隶属函数为
( )
称 为 的无条件模糊优越集称 的 的无条件模糊极大值.这里 ，它的求属函数按扩张原理为
(约定 )
注 (1)当 为 的极大点，即 时 ，当 为 的极小点，即 时 , 充分必要条件是
(2)当 时，
当 时，
当 时，
因此, 反映了在模糊意义下, 对 的模糊数大值的求属程度.
例1 设 ， ,
定义 , , , ,则
, 并且
于是
又
故
的无条件模糊极小集 定义为 的无条件极大集，显然有
且有， ,所有极小集 是极大集 的余集.
二、模糊约束下有界函数的模糊极值
设： 是有界函数， ，考虑 在 约束下的最大值问题，这是一个模糊规划问题，求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束，又要最大限度地达到理想目标，为此定义如下：
定义2 设目标函数 是有界函数， 是模糊约束，令
这里的 是定义1中 的无条件模糊优越集，称 为 在 约束下的条件模糊优越集，称 为 在 约束下的条件模糊极大值.它们的求属函数分别为：
求解目标函数 在模糊约束 下的条件极大值有如下三个步骤：
(1)求无条件模糊优越集
(2)求条件模糊优越集
(3)求条件最佳决策，即选择 ,使
就是所求的条件极大点， 就是在模糊约束 下的条件极大值.
例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：
(1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高；
(3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好；
(5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低.
上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)～(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.
设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即 =｛ (方案Ⅰ), (方案Ⅱ), (方案Ⅲ), (方案Ⅳ), (方案Ⅴ), (方案Ⅵ)｝.
经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1
方案
评价项目
:生产集中程度高
较低 高 较高 很高 较高 较高
:采煤机械化程度高
高 较高 较高 高 很高 高
:采区生产系统完善
一级 较低 较低 很高 高 较高
:安全生产可靠度高
较低 一般 较低 高 一般 高
:煤炭损失率低
高 较高 一般 一般 一般 很低
: 巷道掘进费用(万元)
59.40 69.10 78.80 34.50 44.20 63.60
将表1中的语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集 , 的隶属度转化的对应关系如下：
对 , , , 而言，对应关系为：
很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
对 而言，对应关系为
很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
将表1中的巷道掘进费用目标函数 用公式
计算出，因此得表2
其值语言与隶属函数转换表2
方案
0.2 0.8 0.4 1.0 0.6 0.6
0.8 0.6 0.6 0.8 1.0 0.8
0.4 0.2 0.2 1.0 0.8 0.6
0.2 0.4 0.2 0.8 0.4 0.8
0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 1.0
0.44 0.22 0 1 0.78 0.34
计算模糊判决集 为
(按列求最小)
由
根据最大求属度原则，方案四最优
例3 在某种食品中投放某种调味剂，每公斤食品中的含量设为 克，对顾客爱好作调查统计，得爱好函数为
对于使爱好函数值越大的 值，所制产品越畅销，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，对 值需要进行限制，这种限制集合的边界是模糊的，即 的约束条件为一模糊集 ，其隶属函数为
试确定合理的剂量 ，使得在接受约束的条件下，获得最优收益.
解 这是一个规划问题，分三步进行.
（1） 求无条件模糊优越集 ，由于
，
令 ，得 .又当 时， ， 时， ，因而 ， .因此
（2） 求条件模糊优越集
其中 满足方程
（3） 选择 ，使
，
即 对目标 的可能度为45.93%，而要实现这种可能性，应选择调味剂的最佳剂量为2.085克.
需要说明的是，在本例中如果将约束条件确切化，以 的核[0,1]为约束，这是一个普通规划问题，所得结论是选择最佳剂量为1克.从约束条件看，已是100%遵守，但所能达到的最高目标相对整个目标函数来说是很低的，由 ，说明相对整个目标来说，其优越程度仅达24.6%.如果把条件放松为模糊约束条件 ，且适当降低 的水平，却可以获得较好的目标值.如例中的结果，当 时，从接受约束条件来看虽仅达45.9%，但目标函数的优越程度也升到了45.9%，从而提高了整体优化水平.由于在实际问题中，约束条件往往不是绝对的，有一定的伸缩性，模糊规划的思想就是利用这点灵活性，兼顾目标函数与约束条件综合地选择最优方案.
例4 植物的种植密度与产量有密切的关系.已知某种杉树的种植密度 与产量 的关系如下：
这里 表示每公顷土地上种植的棵数， 表示每公顷土地产出木材的体积.现有一片杉树森林，其密度不均匀，估计 “大约是三千”.试估计该森林每公顷木材最高产量.
解 设 表示“大约是三千”这一模糊， 的隶属函数为
估计木材产量的问题，就是求在 的约束下函数 的模糊条件极大值.为此先求有界函数 的无条件模糊优越集.因 ， ，所以
在约束条件 下的条件模糊优越集为：
条件模糊极值为 ，其隶属函数为：
为求条件最佳决策 ，即满足条件
的
注意到 的隶属函数曲线是单调降的，而 是正态分布模糊集， 在约束 下的模糊最佳决策（即模糊条件极大点），是方程
的两个根当中的较小者，解之得 .
由 可知， 时，接受约束的程度为46.9%，同时，相对于整体目标函数，优越程度也是46.9%.
由 可知，该森林每公顷木材最高产量估计为 .
§3-2 模糊线性规划
一、普通线性规划
普通线性规划的一般形式为
目标函数
约束条件
矩阵表达形式
其中
线性规划问题的标准形式
（3-1）
二、模糊线性规划
在实际问题中，有时线性规划的约束条件带有模糊性，这就是解谓的模糊线性规划，其模型为
这是“ ”表示一种弹性约束，可读作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一个模糊概念，可以用一个模糊集来表示它. 表示第 个约束的左边表达式，模糊集 表示“ ”这一事实，当 时，完全接受约束，应有 ;适当选择一个伸缩系数 ，约定当 时，不认为 ，这时应有 ;当 时， 应从1下降到0，表示约束程度降低.为了简单可行， 规定如下：
设 ，对每一个约束 ，相应地有 中一个模糊渠 与之对应，它的隶属函数为
其中 是适当选择的常数，叫做伸缩指标， ，这样一来,我们将弹性约束转化成模糊约束,再令 就将全部约束条件转化成一个模糊约束.
当 时, 退化为普通约束集 ，模糊约束条件中“ ”退化为“ ”
模糊线性规划的模型简记为
（3-2）
约束的弹性必然导致目标的弹性，为将目标函数模糊化，先求解普通线性规划问题：
满足 （3-3）
以及
满足 （3-4）
其中 称为（3-2）的伸缩指标向量.
设 是(3-32)的最优值， 是(3-4)的最优值. 所满足的约束条件为 ，对应的模糊约束 .若适当降低模糊约束的隶属度 ，可以相应提高目标函数值 , 所满足的约束条件已放到最宽 ，对应的模糊约束 也接近于0.于是目标函数的弹性可表示为 .为此构造模糊目标集 .其隶属函数为
其中
由模糊目标的上述隶属函数可知，当 时， ，要提高目标函数值使之大于 .就必须降低 .为了兼顾目标与约束，可采用模糊决策为 ，最佳决策为 ， 满足
若令 , 则有
于是求最佳决策 的问题，就转化为求普通线性规划问题：
即
（3-5）
求解上述普通规划问题，可得
最佳决策
目标函数值 .
例5：求解模糊线性规划问题
(3-6)
解 (一)解普通线性规划
(二)解普通线性规划
(三) 解普通线性规划
解 这个线性规划采用大 法
原线性规划改写为
∴
从而(3-4)的最优值
例6某企业根据市场信息及自身生产能力，准备开发甲、乙两种系列产品.甲种系列产品最多大约能生产400套，乙种系列产品最多大约能生产250套.据测算，甲种产品每套成本3万元，每套获纯利润7万元；乙种系列产品每套成本2万元，每套获纯利润3万元.生产甲、乙两种系列产品的资金总投入大约不能超过1500万元.在上述条件下，如何安排两种系列产品的生产，才能使企业获利最大？
解 设甲种系列产品生产 套，乙种系列产品生产 套，则
目标:
约束: （3-7）
设约束条件（1）、（2）、（3）的伸缩系数分别取为 （元）， （套）， （套）.为将目标函数模糊化，解经典线性规划问题
使
（4）
用单纯形法求解，得 ， ，
再解经典线性规划问题
(5)
解得
， ，
于是
将 、 、 、 、 代入(3-5)，将原问题经为经典线性规划问题：
使
上述线性规划问题最优解为 ， ， .因此安排甲种系列产品403套、乙种系列产品159套（取整数）时，能获得最大利润，最大利润为：
万元
对比经典线性规划问题（4），利润提高43.75万元，这是因为甲种系列产品403套比400套多3套；乙种系列产品生产159套比150套多9套，这是在伸缩指标允许范围内.总费用 元虽然比1500超出27元，这也是伸缩指标允许的.以上讨论说明，在适当放松约束时可以提高利润.
§2-1模式识别及识别的直接方法
在日常生活中生活中，经常需要进行各种判断、预测。如图象文字识别、故障（疾病）的诊断、矿藏情况的判断等，其特点就是在已知各种标准类型前提下，判断识别对象属于哪个类型的问题。这样的问题就是模式识别。
一、模糊模式识别的一般步骤
模式识别的问题，在模糊数学形成之前就已经存在，传统的作法主要用统计方法或语言的方法进行识别。但在多数情况下，标准类型常可用模糊集表示，用模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的，以模糊数学为基础的模式识别方法称为模糊模式识别。
模式识别主要包括三个步骤：
第一步：提取特征，首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征，并度量这些特征，设 分别为每个特征的度量值，于是每个识别对象 就对应一个向量 ，这一步是识别的关键，特征提取不合理，会影响识别效果。
第二步：建立标准类型的隶属函数，标准类型通常是论域 的模糊集， 是识别对象的第 个特征。
第三步：建立识别判决准则，确定某些归属原则，以判定识别对象属于哪一个标准类型。常用的判决准则有最大隶属度原则（直接法）和择近原则（间接法）两种。
二、最大的隶属度原则
若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集，待识别对象是论域中的某一元素（个体）时，往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型，因而隶属度不为1，这类问题人们常常是采用称为“最大隶属度原则”的方法加以识别，这种方法（以及下面的“阈值原则”）是处理个体识别问题的，称为直接法。
最大隶属度原则：设 是 个标准类型， ，若
则认为 相对隶属于 所代表的类型。
例1 通货膨胀识别问题
通货膨胀状态可分成五个类型:通货稳定;轻度通货膨胀;中度通货膨胀;重度通货膨胀;恶性通货膨胀.以上五个类型依次用 (非负实数域,下同)上的模糊集 表示,其隶属函数分别为:
其中对 ,表示物价上涨 。问 时，分别相对隶属于哪种类型？
解 ，
，
，
，
由最大隶属原则， 应相对隶属于 ，即当物价上涨 时，应视为轻度通货膨胀； ，应相对隶属于 ，即当物价上涨 时，应视为恶性通货膨胀。
三、阈值原则
在使用最大隶属度原则进行识别中，还会出现以下两种情况，其一是有时待识别对象 关于模糊集 中每一个隶属程度都相对较低，这时说明模糊集合 对元素 不能识别；其二是有时待识别对象 关于模糊集 中若干个的隶属程度都相对较高，这时还可以缩小 的识别范围，关于这两种情况有如下阈值原则。
阈值原则： 是 个标准类型， 为一阈值（置信水平）令
若 则不能识别，应查找原因另作分析。
若d且有 ， … 则判决 相对地属于
例2 三角形识别问题
我们把三角形分成等腰三角形 ,直角三角形 , 正三角形 ,非典型三角形 ,这四个标准类型,取定论域
这里 是三角形三个内角的度数，通过分析建立这四类三角形的隶属函数为：
现给定， ， 对上述四个标准类型的隶属度为：
由于 关于 , 的隶属程度都相对高，故采用阈值原则，取 ，因 ， ，按阈值原则， 相对属于 ∩ ,即 可识别为等腰直角三角形。
例3 癌细胞识别
在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型，即：癌细胞 ，重度核异质细胞 ，轻度核异质细胞 ，正常细胞
选取表征细胞状况的七个特征：
根据病理知识，反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个，它们都是 上的模糊集：
上述 是适当选取的常数
细胞识别中的几个标准类型分别定义为：
上述定义中的模糊集 的隶属函数为 。另两个模糊集 、 的隶属函数类似定义。
给定待识别细胞 ，设 的核面积等七个特征值为 据此可算出 、 、 、 ，最后按最大隶属度原则识别。
例4 冬季降雪量预报
内蒙古丰镇地区流行三条谚语：（1）夏热冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北风冬雪大，现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量。
为描述“夏热” 、秋霜晚 、秋分刮西北风 等概念，在气象现象中提取以下特征：
：当年6~7月平均气温
：当年秋季初霜日期
：当年秋分日的风向与正西方向的夹角。
于是模糊集 （夏热）， （秋霜晚）、 （秋分刮西北风）的隶属函数可分别定义为：
其中 是丰镇地区若干年6、7月份气温的平均值， 为方差，实际预报时取 = =0.98
其中 是若干年秋季初霜日的平均值， 是经验参数，实际预报时取 =17（即9月17日）， =10（即9月10日）。
取论域 ，“冬雪大”可以表示为论域 上的模糊集 ，其隶属函数为：
∧ ∨
采用阈值原则，取阈值 ，测定当年气候因子 。计算 ，若 则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。
用这一方法对丰镇1959~1970年间隔12年作了预报，除1965年以外均报对，历史拟合率为11/12。
§2-2 贴近度与模式识别的间接方法
一、贴近度
表示两个模糊集接近程度的数量指标，称为贴近度，其严格的数学定义如下：
定义1 设映射
:
满足下列条件：
(1) ，
(2) ，
(3) 若 满足
有
则称映射 为 上的贴近度，称 为 与 的贴近度。
贴近度的具体形式较多，以下介绍几种常见的贴近度公式
（1） Hamming 贴近度
或
（2）Euclid贴近度
或
（3）格贴近度
定义7 映射
⊙ ，（或= ⊙ ）
称为格贴近度，称 为 与 格贴近度。其中，
(称为 与 的内积)
⊙ (称为 与 的外积)
若 ，则
⊙
值得注意的是，这里的格贴近度是通过定义来规定的，事实上，格贴近度不满足定义1中(1)，即 ，但是，当 时，格贴近度满足定义1的(1)-(3)。另外格贴近度的计算很方便，且用于表示相同类型模糊度的贴近度比较有效，所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模糊集接近程度。
还有许多贴近度，这里不在一一介绍。
贴近度主要用于模糊识别等具体问题，以上介绍的贴近度表示式各有优劣，具体应用时，应根据问题的实际情况，选用合适的贴近度。
二、模式识别的间接方法——择近原则
在模式识别问题中，各标准类型（模式）一般是某个论域 上的模糊集，用模式识别的直接方法（最大隶属度原则、阈值原则）解决问题时，其识别对象是论域 中的元素。另有一类识别问题，其识别对象也是 上的模糊集，这类问题可以用下面的择近原则来识别判决。
择近原则：已知 个标准类型 、 、…、 ， 为待识别的对象， 上的贴近度，若
则认为 与 最贴近，判定 属于 一类。
例5 岩石类型识别
岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差（ ）、差（ ）、较好（ ）、好（ ）、很好（ ）。它们都是 上的模糊集，其隶属函数如下（图2-1）
0 200 400 600 900 1100 1800 2000
图 2-1
今有某种岩体，经实测得出其抗压强度为 上的模糊集 ，隶属函数为（图2-3）。
图 2-3
试问岩体 应属于哪一类。
计算 与 的格贴近度，得：
按择近原则， 应属于 类，即 属于“较好”类（ 类）的岩石。
例6 小麦亲本识别
在小麦杂交育种过程中，亲本选择是关键。现有五种类型的小麦亲本，它们是：
：早熟型， ：矮杆型， ：大粒型，
：高肥丰产型， ：中肥丰产型。
判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征：
：抽穗期， ：株高， ：有效穗数，
：主穗粒数， ：百粒重。
第 种类型亲本的第 个特征，是模糊集 ，这些模糊集除 （早熟型的抽穗期）与 （矮杆型的株高）外，其余都是中间型的正态分布模糊集。为简单计，将正态分布函数展开，取前两项作它的近似值，则有
于是 的隶属函数可表示为：
而 ， 的隶属函数取为偏小值型：
为确定隶属函数中的参数值，在熟知的标准类型中，每类型选出 个新本为样本，分别计算各样本的第 个特征的均值 及方差 ，取
以上参数值见表（2-1）
表 2-1
亲本
参数
性状 早熟 矮杆 大粒 高肥丰产 中肥丰产
抽穗期 - 6.7 1.1 5.5 9.6 1.0 5.8 11.9 1.2 5.2 11.3 0.9 5.1 8.9 1.2
株高 67.1 87.7 50.0 - 70.0 72.4 67.9 90.9 52.2 67.9 81.2 35.9 76.5 84.6 57.5
有效穗数 9.1 11.2 18.1 8.3 18.2 10.8 9.4 13.2 15.6 9.8 13.2 11.3 7.2 13.2 5.8
主穗粒数 40.2 55.0 92.0 37.5 52.5 80.7 44.2 54.5 21.2 41.2 51.0 13.3 37.6 48.3 93.9
百粒重 3.0 4.4 0.3 2.4 3.4 0.3 4.0 6.0 0.3 3.6 4.2 0.3 3.3 4.0 0.2
现有一待识对象 ，它的第 个特征 是中间型正态分布模糊集，隶属函数可近似表示为：
。
式中参数值见表（2-2）
表 2-2
特性
参数 抽穗期 株高 有效穗数 主穗粒数 百粒重
8.5 85.6 6.2 36.2 3.43
1.5 4 1.9 70 0.28
计算识别对象 的第 个特征与第 种标准类型对应特征 的格贴近度 并定义第 种标准类型 与识别对象 的贴近度为：
计算结果列于表（2-3）
表 2-3
早熟（ ）
矮杆（ ）
大粒（ ）
高肥（ ）
中肥（ ）
( ， )
0.50 1.00 1.00 1.00 1.00
( ， )
1.00 0.00 1.00 0.76 0.99
( ， )
1.00 0.88 0.77 0.64 0.96
( ， )
0.23 0.98 0.89 0.83 0.98
( ， )
1.00 1.00 0.98 1.00 1.00
( ， )
0.23 0.00 0.77 0.64 0.96
表（2-3）的最后一行为 与各标准类型的贴近度。由于 与 的贴近度最高（0.96），故判定识别对象 为 代表的类型，即 为中肥丰产类型的亲本。
例7 遥感土地复盖类型分类
遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理，来识别土地复盖的类型。空间遥感的一个象元相当于地面0.45公倾地物的综合。遥感图象识别分类中，要涉及不少模糊概念，例如，“以红松为主的针叶林”就是一个没有明确界线的模糊概念。这是遥感本身的特性决定的。因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法。
美国爱达荷大学R.C.Heller 教授指出，国际上当以水体、沙地、森林、城镇、作物、干草作为分类单位（即标准类型）时，空间遥感的分类精度可达83.93%甚至更高。但当分类单位深入到更小的土地复盖单元时，精度就不理想了。
现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型：
：公路， ：村庄农田， ：红松为主的针叶林，
：阔、针混交林， ：白桦林。
对于多波段遥感技术，假设采用 个波段，则每一地物对应一个 维数据向量 。1975年1月22日美国发射LandSat-2，提供了MSS-4，5，6，7这四个波段的数据，故有 。取论域
其中 分别为象元对应于MSS-4，5，6，7各波段的光谱强度。于是五种标准类型 可表为 上的模糊集。
由于各波段光谱强度是正态分布模糊集，故第 个标准类型的（ +3）波段光谱强度的隶属函数为：
定义第 种标准类型 为：
因而
其中 为若干个第 种类型第（ +3）个波段光谱强度的均值， 为方差，东北凉水林场的这些参数值见表（2-4）
表 2-4
标准类型 MSS-4 MSS-5 MSS-6 MSS-7
19.06 0.56 18.24 1.60 51.24 4.32 25.24 1.98
21.89 2.88 24.68 4.82 47.37 4.09 21.63 2.39
15.46 1.22 12.58 0.88 36.54 3.55 17.33 2.08
16.22 0.64 12.78 0.58 42.41 2.87 21.22 1.50
17 0.82 13.2 0.42 45 0.94 23.20 0.42
设 为识别对象，定义 与 的贴近度为：
（1）
其中 = ⊙ （2）
表 2-5
类型
N
识别对象
max 判别
结果 效果
0.92 0.72 0.50 0.50 0.50 0.92
正确
0.65 0.99 0.50 0.50 0.50 0.99
正确
0.50 0.50 0.99 0.60 0.50 0.99
正确
0.50 0.50 0.61 0.99 0.65 0.99
正确
0.50 0.50 0.50 0.62 0.89 0.89
正确
按 及 ⊙
（3-26）
（这里 与 是 的均值与方差）。
现有东北凉水林场空间遥感象元（待识别对象）五个，按（1）与（2）计算它们与五个标准类型的贴近度，计算结果在表（2-5）按择近原则进行识别判决，准确率100%。
例8 雷达识别
现有 个雷达类，每个雷达类可用发射频率、脉冲重复频率、脉冲宽度等特征来刻画，假设共有 个特征，第 类雷达的第 个特征可以取 个值。由于保密的需要及信号环境的日益复杂，这些特征及其取值都带有一定的模糊性。设第 类 雷达的 个特征为 类雷达的第 个特征 取值为 ，其隶属函数为中间型柯西分布，即
设 为待识别对象，它的 个特征为 的第 个特征 的隶属函数也取中间型柯西分布：
采用格贴近度，令
则 为识别对象 的第 个特征与 类雷达第 个特征贴近程度的度量。
一般情况可令
（ 是各 的加权平均值，权系数 表示 个特征的重要性程度） 可作为识别对象 与第 类雷达总贴近的度量。根据 的大小可判定 属于何类雷达，但是，由于权系数 的确定有一定的模糊性， 及 的隶属函数的确定带有一定的主观性，从而导致贴近度 有一定的模糊性。因此对 及 进行模糊化处理，设
这里 ， 都是 模糊数（见第五章），取 。
令
的隶属函数为
则 为识别对象 与第 类雷达的贴近程度的模糊测度。
为得到 所属雷达类别的确切判决，类似于阈值法则，给定水平值 ，令
若 且 唯一，则判定 为 类雷达；
若 且 ，则判定 为 类雷达。
用上述方法（将权系数及贴近度模糊化），经上千次仿真试验，比传统的贴近度及线性加弘平均法，误判率有所下降。
第三章 模糊规划
§3-1 模糊极值
一、有界函数的模糊极值
设 （ 为实数集）
是有界函数，求函数 的普通极值问题是求 使
满足上式的 为 在 上的最大值点， 为最大值，最大值点不一定唯一.
设 的一切最大值点的集合为
称 为 的优越集.当 时，函数在 处取到最大值 ， 使 达到最优.当 时， 虽不是最大值，但对不同的 ， 与最大值的差异有所不同,也就是说，对于不属于 的 ，它们的“优越性”程度有所不同，为了反映 中各点不同的优越程度，将优越集 模糊化，并利用它将极值模糊化.
定义1设 是有界函数，定义 的隶属函数为
( )
称 为 的无条件模糊优越集称 的 的无条件模糊极大值.这里 ，它的求属函数按扩张原理为
(约定 )
注 (1)当 为 的极大点，即 时 ，当 为 的极小点，即 时 , 充分必要条件是
(2)当 时，
当 时，
当 时，
因此, 反映了在模糊意义下, 对 的模糊数大值的求属程度.
例1 设 ， ,
定义 , , , ,则
, 并且
于是
又
故
的无条件模糊极小集 定义为 的无条件极大集，显然有
且有， ,所有极小集 是极大集 的余集.
二、模糊约束下有界函数的模糊极值
设： 是有界函数， ，考虑 在 约束下的最大值问题，这是一个模糊规划问题，求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束，又要最大限度地达到理想目标，为此定义如下：
定义2 设目标函数 是有界函数， 是模糊约束，令
这里的 是定义1中 的无条件模糊优越集，称 为 在 约束下的条件模糊优越集，称 为 在 约束下的条件模糊极大值.它们的求属函数分别为：
求解目标函数 在模糊约束 下的条件极大值有如下三个步骤：
(1)求无条件模糊优越集
(2)求条件模糊优越集
(3)求条件最佳决策，即选择 ,使
就是所求的条件极大点， 就是在模糊约束 下的条件极大值.
例2采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：
(1)生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高；
(3)采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好；
(5)煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低.
上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把(1)～(5)作为模糊约束，而把(6)作为目标函数.
设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即 =｛ (方案Ⅰ), (方案Ⅱ), (方案Ⅲ), (方案Ⅳ), (方案Ⅴ), (方案Ⅵ)｝.
经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表1
方案
评价项目
:生产集中程度高
较低 高 较高 很高 较高 较高
:采煤机械化程度高
高 较高 较高 高 很高 高
:采区生产系统完善
一级 较低 较低 很高 高 较高
:安全生产可靠度高
较低 一般 较低 高 一般 高
:煤炭损失率低
高 较高 一般 一般 一般 很低
: 巷道掘进费用(万元)
59.40 69.10 78.80 34.50 44.20 63.60
将表1中的语言真值(评价结果)转化为各模糊约束集 , 的隶属度转化的对应关系如下：
对 , , , 而言，对应关系为：
很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
对 而言，对应关系为
很 低 较 低 一 般 较 高 高 很 高
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
将表1中的巷道掘进费用目标函数 用公式
计算出，因此得表2
其值语言与隶属函数转换表2
方案
0.2 0.8 0.4 1.0 0.6 0.6
0.8 0.6 0.6 0.8 1.0 0.8
0.4 0.2 0.2 1.0 0.8 0.6
0.2 0.4 0.2 0.8 0.4 0.8
0.2 0.4 0.6 0.6 0.6 1.0
0.44 0.22 0 1 0.78 0.34
计算模糊判决集 为
(按列求最小)
由
根据最大求属度原则，方案四最优
例3 在某种食品中投放某种调味剂，每公斤食品中的含量设为 克，对顾客爱好作调查统计，得爱好函数为
对于使爱好函数值越大的 值，所制产品越畅销，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，对 值需要进行限制，这种限制集合的边界是模糊的，即 的约束条件为一模糊集 ，其隶属函数为
试确定合理的剂量 ，使得在接受约束的条件下，获得最优收益.
解 这是一个规划问题，分三步进行.
（1） 求无条件模糊优越集 ，由于
，
令 ，得 .又当 时， ， 时， ，因而 ， .因此
（2） 求条件模糊优越集
其中 满足方程
（3） 选择 ，使
，
即 对目标 的可能度为45.93%，而要实现这种可能性，应选择调味剂的最佳剂量为2.085克.
需要说明的是，在本例中如果将约束条件确切化，以 的核[0,1]为约束，这是一个普通规划问题，所得结论是选择最佳剂量为1克.从约束条件看，已是100%遵守，但所能达到的最高目标相对整个目标函数来说是很低的，由 ，说明相对整个目标来说，其优越程度仅达24.6%.如果把条件放松为模糊约束条件 ，且适当降低 的水平，却可以获得较好的目标值.如例中的结果，当 时，从接受约束条件来看虽仅达45.9%，但目标函数的优越程度也升到了45.9%，从而提高了整体优化水平.由于在实际问题中，约束条件往往不是绝对的，有一定的伸缩性，模糊规划的思想就是利用这点灵活性，兼顾目标函数与约束条件综合地选择最优方案.
例4 植物的种植密度与产量有密切的关系.已知某种杉树的种植密度 与产量 的关系如下：
这里 表示每公顷土地上种植的棵数， 表示每公顷土地产出木材的体积.现有一片杉树森林，其密度不均匀，估计 “大约是三千”.试估计该森林每公顷木材最高产量.
解 设 表示“大约是三千”这一模糊， 的隶属函数为
估计木材产量的问题，就是求在 的约束下函数 的模糊条件极大值.为此先求有界函数 的无条件模糊优越集.因 ， ，所以
在约束条件 下的条件模糊优越集为：
条件模糊极值为 ，其隶属函数为：
为求条件最佳决策 ，即满足条件
的
注意到 的隶属函数曲线是单调降的，而 是正态分布模糊集， 在约束 下的模糊最佳决策（即模糊条件极大点），是方程
的两个根当中的较小者，解之得 .
由 可知， 时，接受约束的程度为46.9%，同时，相对于整体目标函数，优越程度也是46.9%.
由 可知，该森林每公顷木材最高产量估计为 .
§3-2 模糊线性规划
一、普通线性规划
普通线性规划的一般形式为
目标函数
约束条件
矩阵表达形式
其中
线性规划问题的标准形式
（3-1）
二、模糊线性规划
在实际问题中，有时线性规划的约束条件带有模糊性，这就是解谓的模糊线性规划，其模型为
这是“ ”表示一种弹性约束，可读作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一个模糊概念，可以用一个模糊集来表示它. 表示第 个约束的左边表达式，模糊集 表示“ ”这一事实，当 时，完全接受约束，应有 ;适当选择一个伸缩系数 ，约定当 时，不认为 ，这时应有 ;当 时， 应从1下降到0，表示约束程度降低.为了简单可行， 规定如下：
设 ，对每一个约束 ，相应地有 中一个模糊渠 与之对应，它的隶属函数为
其中 是适当选择的常数，叫做伸缩指标， ，这样一来,我们将弹性约束转化成模糊约束,再令 就将全部约束条件转化成一个模糊约束.
当 时, 退化为普通约束集 ，模糊约束条件中“ ”退化为“ ”
模糊线性规划的模型简记为
（3-2）
约束的弹性必然导致目标的弹性，为将目标函数模糊化，先求解普通线性规划问题：
满足 （3-3）
以及
满足 （3-4）
其中 称为（3-2）的伸缩指标向量.
设 是(3-32)的最优值， 是(3-4)的最优值. 所满足的约束条件为 ，对应的模糊约束 .若适当降低模糊约束的隶属度 ，可以相应提高目标函数值 , 所满足的约束条件已放到最宽 ，对应的模糊约束 也接近于0.于是目标函数的弹性可表示为 .为此构造模糊目标集 .其隶属函数为
其中
由模糊目标的上述隶属函数可知，当 时， ，要提高目标函数值使之大于 .就必须降低 .为了兼顾目标与约束，可采用模糊决策为 ，最佳决策为 ， 满足
若令 , 则有
于是求最佳决策 的问题，就转化为求普通线性规划问题：
即
（3-5）
求解上述普通规划问题，可得
最佳决策
目标函数值 .
例5：求解模糊线性规划问题
(3-6)
解 (一)解普通线性规划
(二)解普通线性规划
(三) 解普通线性规划
解 这个线性规划采用大 法
原线性规划改写为
∴
从而(3-4)的最优值
例6某企业根据市场信息及自身生产能力，准备开发甲、乙两种系列产品.甲种系列产品最多大约能生产400套，乙种系列产品最多大约能生产250套.据测算，甲种产品每套成本3万元，每套获纯利润7万元；乙种系列产品每套成本2万元，每套获纯利润3万元.生产甲、乙两种系列产品的资金总投入大约不能超过1500万元.在上述条件下，如何安排两种系列产品的生产，才能使企业获利最大？
解 设甲种系列产品生产 套，乙种系列产品生产 套，则
目标:
约束: （3-7）
设约束条件（1）、（2）、（3）的伸缩系数分别取为 （元）， （套）， （套）.为将目标函数模糊化，解经典线性规划问题
使
（4）
用单纯形法求解，得 ， ，
再解经典线性规划问题
(5)
解得
， ，
于是
将 、 、 、 、 代入(3-5)，将原问题经为经典线性规划问题：
使
上述线性规划问题最优解为 ， ， .因此安排甲种系列产品403套、乙种系列产品159套（取整数）时，能获得最大利润，最大利润为：
万元
对比经典线性规划问题（4），利润提高43.75万元，这是因为甲种系列产品403套比400套多3套；乙种系列产品生产159套比150套多9套，这是在伸缩指标允许范围内.总费用 元虽然比1500超出27元，这也是伸缩指标允许的.以上讨论说明，在适当放松约束时可以提高利润.
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