Question

一道高中数列问题，希望大家帮帮忙，谢谢！！

已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n>=3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式?(注：题中n，n-1，n-2 均为下标)

谢谢！！！

Answer 1

对于形如an=pan-1+qan-2的数列
1..首先构建an-μan-1=λ(an-1-μan-2);与原来等式比较得到：λ+μ=p，-λμ=q，从而得到λ和μ
2.令Cn=a(n+1)-μan，可知此数列为以λ为等比，以a2-μa1为首项的等比数列。解之可得Cn通项。
3.得到Cn也就是得到了an-μan-1的通项，an-μan-1=f（n）,然后此式两边同除以μ^n，可得
an/μ^n-an-1/μ^(n-1)=f(n)/μ^n
4.令Dn=an/μ^n，则Dn-Dn-1=f(n)/μ^n，这是一个类等差数列解之可得∑(Dn-Dn-1)=Dn-D1=∑f(n)/μ^n
得到Dn也就得到了an（Dn=an/μ^n）
对于本题，将题目中具体数字代入，
1.可得an+an-1=3(an-1+an-2);
2.Cn=a(n+1)+an=(a2+a1)公比^(n-1)=7*3^(n-1)
3.则an+an-1=Cn-1=7*3^(n-2)，两边同时除以(-1)^n,可得an/(-1)^n-an-1/(-1)^(n-1)=7*3^(n-2)/(-1)^n
4.Dn=an/(-1)^n,则Dn-Dn-1=7*3^(n-2)/(-1)^n，∑(Dn-Dn-1)=Dn-D1=∑f(n)/μ^n=∑7*3^(n-2)/(-1)^n
Dn=D1+∑7*3^(n-2)/(-1)^n=D1+∑(7/9)(-3)^n
其中，D1=-a1=-5。∑(7/3)(-3)^(n-1)为一简单等比数列之和。求之，可得Dn，而an=Dn(-1)^n
最后，得an=-13/4(-1)^n+7/4*3^(n-1)
自己梳理梳理吧，呵呵

Answer 2

an+a(n-1)=3[a(n-1)+a(n-2)];
an+a(n-1)=[3^(n-2)]*(a1+a2)=7*3^(n-2),(n>=2);
an/[(-1)^n] - a(n-1)/[(-1)^(n-1)]=7/9 * (-3)^n ,(n>=2);
记bn=an/[(-1)^n], bn-b(n-1)=7/9*(-3)^n,(n>=2);
bn=b1+7/27 * [(-3)^2+…+(-3)^n] = b1+7/9 *(9/4)*[1-(-3)^(n-1)];
b1=a1/(-1)=-5;
bn=-5+ 7/4 * [1-(-3)^(n-1)] , (n>=2);
an=(-1)^n*bn = -13/4 * (-1)^n + 7/4*3^(n-1) ,(n>=2);
其中a1=5也符合上式；
故an= -13/4 * (-1)^n + 7/4*3^(n-1) ,(n>=1)
（注：a后括号内为下标）