Question

初三数学证明题

如图，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
（1）证明：BE=CF
（2）求AE的长。

Answer 1

1.

证明:连接BD、CD 

∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，

∴DE=DF    （角平分线上的点到角两边距离相等）

∵DG为BC的垂直平分线，

∴BD=CD 

又∵∠BED=∠CFD=90° 

∴△BED≌△CFD   （HL）

∴BE=CF 

2.

∵∠1=∠2，∠AED=∠AFD=90°，AD为公共边

∴△AED≌△AFD

∴AE=AF

∴AE=AB-BE

=8-BE

=8-CF

=8-(AF-AC)

=8-(AF-4)

=8-(AE-4)

即AE=8-AE+4

∴AE=6

Answer 2

（1）证明：
∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D
则DB=DC 【垂直平分线上的任意一点到两个端点距离相等】
DF=DF 【角平分线上的任意一点到两边的距离相等】
所以△CFD≌△BED 【直角三角形的斜边及一条直角边对应相等，则三角形全等】
对应边：BE=CF

（2）解：
∠CAD=∠EAD
AD=AD
则△CAD≌△EAD 【直角三角形锐角+斜边对应相等，则全等】
AF=AE
AC+CF=AB-BE
4+CF=8-BE
因为CF=BE
解得：BE=2
AE=8-2=6