Question

求一个第二类曲面积分的解答

∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy,其中S是坐标平面和x+y+z=1 所为四面体表面的外侧？
s是封闭的

Answer 1

由于轮换对称性，对三个坐标平面上的积分面的第二类曲面积分值相等，不妨取左侧面对该积分计算：由于该面上的单位法向量为n=(0,-1,0) 带入积分有∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdS 其中
dS=dzdx 所以∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdzdx,化为二重积分，积分面为左侧面，带入y=0,
∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdzdx=0
再计算x+y+z=1面上的积分，由于轮换对称性，在该积分面上∫∫xydydz=∫∫yzdzdx=∫∫xzdxdy，则
∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=3∫∫xzdxdy 由于定向为正向，则由1-x-y=z带入得二重积分3∫∫xzdxdy=
3∫∫x（1-x-y）dxdy 积分面为xy坐标面上的0≤x≤1 0≤y≤1-x 最终计算值为1／8

Answer 2

设P=xy,Q=yz,R=zx，则ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz=x+y+z。所以原积分
=∫∫∫(x+y+z)dxdydz，由于对称性可知，∫∫∫xdxdydz=∫∫∫ydxdydz=∫∫∫zdxdydz，所以原积分=3∫∫∫zdxdydz，用截面法计算。积分=3∫zdz∫∫dxdy=(3/2)∫z(1-z)^2dz（积分限0到1）=1/8