Question

已知函数f(x)=x^2+bx+c对于任意α、β属于R都有f(sina)≥0、且f(2+cosb）≤0 求f(1)的值 求证c≥3 若f（si

已知函数f(x)=x^2+bx+c对于任意α、β属于R都有f(sina)≥0、且f(2+cosb）≤0
1、 求证c≥3
2、若f（sina)的最大值为10、求f(x)的表达式

Answer 1

由于sin,cos取值在[-1,1]，所以f(-1<=x<=1)>=0，而f(1<=x<=3)<=0，所以必有f(1)=0，推出1+b+c=0。
所以f(x)=(x-1)(x-c)，表示开口向上的抛物线，在1<=x<=c范围f(x)<=0，仍然由已知f(1<=x<=3)<=0，所以c>=3。
另外易得f(-1)是-1<=x<=1范围内最大的=10，(-1-1)*(-1-c)=10，所以c=4,b=-5
f(x)=x^2-5x+4

Answer 2

（1）由于对于任意α、β属于R都有f(sina)≥0、且f(2+cosb）≤0都成立
所以有f(x)≥0，1≥x≥-1
且f(x）≤0，3≥x≥1
当x=1时，f(1）=0 得b+c+1=0
当f(x）≤0，3≥x≥1时 得x^2-（1+c）x+c≤0
分离变量得c≥3
（2）由f（sina)的最大值为10
当1≥x≥-1 f（x)最大值为10 而最大值只能在端点取
即f（1）=10或f（3)=10最后的c=4 所以f(x)=x^2-5x+4

Answer 3

注意观察，sina的范围为【-1,1】2+cosb的范围为【1,3】所以f（1）=1+b+c=0,且f(3)=9+3b+c=《0.两式联解可得到C>=3，f（sina)的最大值为10，可以轻易看出当sina=-1的时候f(x)最大,带入得1-b+c=10,又因为1+b+c=0可得C=4，b=-5