Question

已知(2sin^2α+sin2α)/(1+tanα)=k,(π/4<α<π/2)

求k的取值范围
试用k表示sinα-cosα

Answer 1

解：(1) k=[ 2 (sin α)^2 +2 sin α cos α ] / (1 +tan α)
=2 sin α (sin α +cos α) / (1 +tan α)
=2 sin α cos α (1 +tan α) / (1 +tan α)
=sin 2α.
因为 π/4< α< π/2,
所以 π/2< 2α< π.
所以 k=sin 2α ∈(0,1).

(2) 因为 π/4< α< π/2,
所以 tan α>1, cos α>0.
所以 sin α >cos α,
即 sin α -cos α>0.
又因为 (sin α -cos α)^2 =(sin α)^2 +(cos α)^2 -2 sin α cos α
=1 -sin 2α
=1-k,
所以 sin α -cos α =根号(1-k).

= = = = = = = = =
注意 α 的范围.
利用 tan α 和cos α 的范围, 可以比较sin α 和cos α.