Question

问个数学题？

已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上。
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。

（2）有一点D坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC与点E。
①当△BDE是等腰三角形时，求E点坐标。（要过程）
②又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意，得 C（0，2）根据射影定理，得 OA*OB=OC^2=4 又OA+OB=5 OA<OB 所以 OA=1 OB=4 A(-1,0) B(4,0) 经过点A、B、C的抛物线与x轴的交点为A，B 所以 y=a*（x+1）*（x-4）过C点（0，2）抛物线的关系式为y=-1/2*（x-4）*（x+1） 得,y=-1/2x^2+3/2x+2
(2)1直线BC的方程为y=-1/2x+2.a.BD为底时,E点横坐标为3,代入方程,得y=1/2 E(3,1/2) b.BE为底时,E的轨迹是以点D为圆心BD为半径的圆,解析式为(x-2)^2+y^2=4解联立方程组,得,x=4,y=0或x=4/5,y=8/5 E(4/5,8/5) c.BE为底时,E的轨迹是以点B为圆心BD为半径的圆, 解析式为(x-4)^2+y^2=4解联立方程（我打不出来，你自己解下）
2．有，连结CD，P为线段CD中垂线与抛物线交点，线段CD中垂线方程为y=x,解联立方程组, （我打不出来，你自己解下),(P(m,n),m>0,n>0,只能取其中一点