Question

圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法

Answer 1

已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：

∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D

∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：，当圆心O在∠BAC的外部时：

连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

Answer 2

设圆心为O，劣弧AB，则圆周心AOB，再取劣弧AB的圆周角AO'B（即O‘在优弧AB上），连O'O，根据等腰三角形和三角形内角和180°等方法可得N种证明方法。

Answer 3

证明：∠aod=∠aco+∠cao
∠bod=∠ocb+∠obc
∴∠aob=∠aod+∠bod=∠aco+∠cao+∠ocb+∠obc
=2∠aco+2∠ocb
=
2（∠aco+∠ocb）
=2∠acb
即同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍