Question

数学题，急！

若双曲线焦点在坐标轴上，且双曲线与圆x^2+y^2=10交于点P（3，-1），若圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程。

Answer 1

当焦点在X轴上时，设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,ab都大于0
其渐近线方程为y=(b/a)x或y=-(b/a)x，
圆过点P的切线为y=3x-10,所以b/a=3,b=3a,
x^2/a^2-y^2/9a^2=1,
又因为双曲线也过点P（3，-1），
所以9/a^2-1/9a^2=1,
解得a^2=80/9,双曲线方程为9x^2/80-y^2/80=1
当焦点在Y轴上时，设y^2/a^2-x^2/b^2=1,
同理求出a=3b,y^2/9b^2-x^2/b^2=1,再代入（3,-1），
最后算出来无解，
所以答案只有一个9x^2/80-y^2/80=1，焦点只能在X轴上

Answer 2

当焦点在X轴上时，设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,ab都大于0
其渐近线方程为y=(b/a)x或y=-(b/a)x，
圆过点P的切线为y=3x-10,所以b/a=3,b=3a,
x^2/a^2-y^2/9a^2=1,
又因为双曲线也过点P（3，-1），
所以9/a^2-1/9a^2=1,
解得a^2=80/9,双曲线方程为9x^2/80-y^2/80=1
当焦点在Y轴上时，设y^2/a^2-x^2/b^2=1,
同理求出a=3b,y^2/9b^2-x^2/b^2=1,再代入（3,-1）
答案只有一个9x^2/80-y^2/80=1，焦点只能在X轴上