Question

求教一道一元二次方程

证明:如果a<b<c,则一元二次方程
(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0 一个根在b、c之间，另一个根在a、b之间。

Answer 1

证明：设f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)

①令x=a,    则f(x)=(x-b)(x-c)     因为a<b<c        所以f(a)=(a-b)(a-c)>0

②令x=b,    则f(x)=(x-a)(x-c)     因为a<b<c        所以f(b)=(b-a)(b-c)<0

③令x=c,    则f(x)=(x-a)(x-b)     因为a<b<c        所以f(c)=(c-b)(c-c)>0

     由此，即的证  当a<b<c时，一元二次方程

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0  一个根在b、c之间，另一个根在a、b之间。

Answer 2

令f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),显然函数连续。而f(a)=(a-b)(a-c)>0 f(b)<0 故必存在一个x在ab之间使f（x）=0即方程有解，同理由f(b)<0,f(c)>0可得另一个根在b、c之间