Question

已知Fx=x^2+alnx,当a=-2时,求Fx的单调增区间。若Gx=fx+2/x在【1，+$）上为单调函数，求a范围.

Answer 1

求导就可以了，导函数大于0为增区间，导函数小于0为减区间。
F‘=2x-2/x=(2x^2-2)/x=2(x^2-1)/x 因为x的取值范围为（0，正无穷） （因为lnx中x大于0）
若x^2-1>0，则x>1，所以增区间为（1，正无穷）

由题易知：Gx=x^2+alnx+2/x
G’x=2x + a/x - 2/x^2 因为在[1，正无穷）为单调增函数，所以G‘x在该定义域区间内恒大于0
所以2x + a/x - 2/x^2 恒大于0。(2x + a/x - 2/x^2 >=0)
所以a恒大于-2（1+x^3）/x 即 a>=2（1-x^3）/x x属于[1，正无穷)
记Hx=2（1-x^3）/x x属于[1，正无穷)
所以a大于等于Hx的最大值，因为在定义域内，Hx为单调减函数
所以max（Hx）=H（1）=0
所以a>=0 (经检验a=0带入原函数符合)

Answer 2

x>0
F'=2x-2/x>0
所求是x>1

G'=2x+a/x-2/x^2>0或<0
x>=1
2x^3+ax-2>0,得a>0
2x^3+ax-2<0,a无解
所以a>0,Gx递增