Question

若中心在原点，一个焦点为（5根号2，0）的椭圆截直线l:y=2x+1所得弦AB的中点坐标为（-6/13,1/13）求此椭圆

方程和弦长|AB|

Answer 1

解：
设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 A(x1，y1) B(x2，y2) 中点(x0，y0) 则
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减：(y1-y2)/（x1-x2)=(-b^2/a^2)(x1+x2)/(y1+y2)=(-b^2/a^2)(x0/y0)=6b^2/a^2
即：2=k=6b^2/a^2
又a^2-b^2=c^2=（5根号2）^2=50
∴a=5根号3 b=5
即椭圆方程x^2/75+y^2/50=1
将y=2x+1带入用椭圆方程x^2/75+y^2/50=1化解得：
400x^2+300x-75*49=0 Ax^2+Bx+c=0
x1+x2=-3/4 x1x2=-138/16
弦长IABI=根号[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
=根号[(1+k^2)(x1-x2)^2]
=根号[(1+k^2)(x1+x2)^2-4x1x2]
=(根号2205)/4
弦长公式IABI=(1/A)根号[(1+k^2)△]