Question

（1）已知椭圆x^2+4y^2=16求过点P（1，1）且被P平分的弦所在的直线方程。

（2）已知过点P（1，1）的直线与椭圆x^2+4y^2=16相交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程

Answer 1

1、
设为y-1=k(x-1)
y=kx+(1-k)
代入
(1+4k²)x²+8k(1-k)x+4(1-k)²-16=0
中点横坐标是(x1+x2)/2=-4k(1-k)/(1+4k²)=1
-4k+4k²=1+4k²
k=-1/4
所以是x+4y-5=0

2、
设为y-1=k(x-1)
y=kx+(1-k)
代入
(1+4k²)x²+8k(1-k)x+4(1-k)²-16=0
x=(x1+x2)/2=-4k(1-k)/(1+4k²)
y=kx+(1-k)
y=(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+(1-k)
=(1-k)/(1+4k²)
所以x/y=-4k
因为y-1=k(x-1)
所以x/y=-4(y-1)/(x-1)
x²-x=-4y²+4y
x²+4y²-x-4y=0

Answer 2

x^2+4y^2=16
x^2/16+y^2/4=1
设A,B坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)
代入得:
x1^2/16+y1^2/4=1
x2^2/16+y2^2/4=1
二式相减得:
(x1+x2)(x1-x2)/16+(y1+y2)(y1-y2)/4=0
又x1+x2=2*1=2,y1+y2=2
即:2(x1-x2)/16+2(y1-y2)/4=0
(x1-x2)/8+(y1-y2)/2=0
x1-x2=-4(y1-y2)
(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4
即AB的斜率是-1/4
那么方程是:y-1=-1/4(x-1)
4y-4=-(x-1)
4y-4=-x+1
x+4y-5=0