Question

抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于a,b两点，点a在b的左边，与y轴相交于点c，抛物线顶点为d。 1:写出a,b,c点的坐

过程最好要详细一点，主要是第2问的两小题
抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于a,b两点，点a在b的左边，与y轴相交于点c，抛物线顶点为d。
1:写出a,b,c点的坐标和抛物线的对称轴。
2:连接b,c点与抛物线对称轴相交于点e，点p是线段bc上的一个动点，过点p做pf平行 de交抛物线于点f，设点p的横线为n
⑴求含n的代数式表示线段pf的长，并求出当n为何值时四边形pedf为平行四边形。
⑵设三角形bcf面积为s，求s与n的函数关系。

Answer 1

1.
先求抛物线y=-x^2+2x+3与x轴相交的a,b两点
令y=0, 则 -x^2+2x+3=0 求得x1=-1，x2=3
所以a(-1,0),b(3,0)

再求抛物线y=-x^2+2x+3与y轴相交的c点
令x=0, 则y=3
所以c(0,3)

再求抛物线y=-x^2+2x+3顶点d
y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4
得到d(1,4)
对称轴x=1

2.
(1)
求直线bc方程
其斜率k=(3-0)/(0-3)=-1 ①
得(y-3)/(x-0)=-1
化简得 直线bc方程为 y=-x+3
求e点
将x=1代入 y=-x+3 得e点为 (1,2)
求f点
设p点坐标为(n,y)
直线pf方程为x=n
代入y=-x+3得 p点坐标为(n,-n+3)
将x=n代入抛物线方程y=-x^2+2x+3 得 y=-n^2+2n+3
f点坐标为(n,-n^2+2n+3)

线段pf的长=[（-n+3+n^2-2n-3）^2]的平方根=-n^2+3n=n(3-n)

四边形pedf为平行四边形时，pe平行df pf平行ed

df的斜率=pe的斜率=bc的斜率=-1 (bc的斜率已由①求出)
即[4+n^2-2n-3]/[1-n]=-1
化简得 n^2-3n+2=0
求得n1=1,n2=2
n1=1不合题意（因为n1=1时,f坐标为(1,4),此时f与d重合）
∴n=2

(2)
根据前面求得 b,c,f的坐标分别为b(3,0), c(0,3),f(n,-n^2+2n+3)
直线bc方程为 y=-x+3
先求出f到bc的垂直距离（相当于三角形bcf的高h）
由点到直线的公式，得
h=[|n-n^2+2n+3-3|]/(1^2+1^2)的平方根
=n(3-n)/√2 (√2代表2的平方根)
=n(3-n)√2 /2 (√2代表2的平方根)

∴三角形bcf面积s=1/2*|bc|*h
又 |bc|=[(0-3)^2+(3-0)^2]的平方根=3√2 (√2代表2的平方根)
从而 s=1/2*3√2*n(3-n)√2 /2 (√2代表2的平方根)
=3n(3-n)/2

Answer 2

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：3k+b=0b=3​
解得：k=-1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m2+2m+3，
∴F（m，-m2+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=12PF•BM+12PF•OM=12PF•（BM+OM）=12PF•OB．
∴S=12×3（-m2+3m）=-32m2+92m（0≤m≤3）．