Question

函数f(x)=a^x(a>0,a≠1),在【1,2】中最大值比最小值打a/2,求a

Answer 1

函数f单调, 所以最大最小值在两端点取到. 由题意得
|a^1 - a^2| = a/2

解之:
|a(1-a)| = a/2
(i)当a>1时, 1-a<0, a(1-a)<0, -a(1-a)= a/2, -(1-a)=1/2, a=1/2+1=3/2
(ii)当0<a<1时, 1-a>0, a(1-a)>0, a(1-a)=a/2, (1-a)=1/2, a=1-1/2=1/2
所以a的可能值共有两个: 1/2, 3/2

Answer 2

分析：此题用到分类讨论的思想。即分a>1与0<a<1两种情况。
解：
当a>1时：
当x=1时，y最小值=a
当x=2时，y最大值=a^2
则a^2-a=a/2，解得a=1.5 或 0(舍去)
当 0<a<1时：
当x=1时，y最大值=a
当x=2时，y最小值=a^2
则a-a^2=a/2，解得a=0.5 或 0(舍去)
故，a=1.5 或 0.5