Question

数学抛物线问题

已知抛物线y=-1/2x²+bx+4上有不同的两点E（k+3,-k²+1）和F（-k-1， -k2+1）(1)求抛物线的解析式 （2）如图，抛物线y=-1/2x²+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D。设AD的长为m(m>0)，BC的长为n,求n和m之间的函数关系式；
（3）当m,n为何值时，∠PMQ的边过点F？
此为初中题目，什么斜率的我看不懂。我再加50。

Answer 1

(1)将E、F坐标分别代入y=-1/2x²+bx+4得
-k²+1=-1/2(k+3)²+b(k+3)+4…………①
-k²+1=-1/2(-k-1)²+b(-k-1)+4…………②
①-②得 (1-b)(k+2)=0 即b=1 或k=-2
由于当k=-2时，E(1,-3)、F(1,-3)点坐标相同，与题中E、F为两不同点的条件不符，故舍去。
所以满足条件的解只有 b=1
于是抛物线的解析式为
y=-1/2x²+x+4…………③
将E点坐标代入方程③得k=1或k=3
将F点坐标代入方程③得k=-2或k=3
只有当k=3时，点E、F才同时在抛物线上
故k=3
E点坐标为(6,-8)；F点坐标为(-4,-8)
(2)抛物线y=-1/2x²+x+4与x轴的交点A(4,0)；与y轴交点B(0,4)；M点坐标(2,2)
当AD=m；BC=n时，C点坐标为(0,4-m)；D点坐标为(4-n,0)
CD=√[(4-n) 2+(4-m) 2]
CM=√[4+(2-m) ²]
DM=√[(2-n) ²+4]
∠CMD=∠PMQ=45°
根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC
知(4-n) ²+(4-m) 2=[4+(2-m)2]+[(2-n) 2+4]-2√[4+(2-m) 2]√[(2-n) 2+4]cos45°
整理得8(m+n-4)2=(8-4m+m2)(8-4n+n2)…………好累，不继续整理了
(3) F点坐标为(-4,-8)，靠近y轴，只能在∠PMQ的PM边上
由MD：DF=(2-m)：(m+4)=(2-0)：(0+8)
解得m=0.8

Answer 2

已知抛物线y=-1/2x²+bx+4上有不同的两点E（k+3,-k²+1）和F（-k-1， -k2+1）(1)求抛物线的解析式 （2）如图，抛物线y=-1/2x²+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D。设AD的长为m(m>0)，BC的长为n,求n和m之间的函数关系式；
（3）当m,n为何值时，∠PMQ的边过点F？
1)x1+x2=k+3-k-1=2,-b/2*(-1/2)=2,b=2,抛物线的解析式:y=-1/2x²+2x+4.y=0即
-1/2x²+2x+4=0，x=2+2倍根号3,x=2-2倍根号3（不合题意，舍去）。
x1*x2=c/a即：（-k²+1）*（-k2+1）=-8；k2=3；代入求出E,F点的坐标：（-2,6）；（-2，-2）。
与x轴交点A为（2+2倍根号3，0).
x=0时，即：y=4,B点坐标为：（0,4）。
AB的中点M的坐标为：（1+根号3,2),D点的坐标为（2+2倍根号3-m,0),C点坐标为：（0.，4-n)
MP的斜率k1=(2-4+n)/(1+根号3)=(n-2)/(1+根号3);
MQ的斜率k2=(2/{1+根号3-(2+2倍根号3-m)}=-2/(1+根号3+m);
k1与k2的夹角为45°，套公式即可解决问题,
两直线斜率分别为k1,k2，夹角θ=arctan|(k1-k2)/(1+k1k2)|=π/4

Answer 3

1、点E和点F的纵坐标相同，说明这两点是关于抛物线的对称轴对称的，也就是说对称轴为x=[(k+3)＋(-k-1)]/2=1，从而可以得到b=1；
2、由第一问得到抛物线为y=-1/2x²+x+4，可以得到A(4，0)、B(0，4)；
点M为线段BC的中点，即M(2，3)，连结OM，过点M做MG垂直x轴于点G，作MH垂直y轴于点H，过点H作HN⊥OM于点N。Rt△MCN和Rt△MDG中，由于∠CMO＋∠OMD=45°=∠OMD＋∠DMG，所以有∠CMO=∠DMG，从而Rt△MCN∽Rt△MDG，那就有CN：DG=NM：GM，即[(4－n)/√2]：(m－2)={2√2－[4－n)/√2]}：2。化简就得到m、n之间的关系。
3、题目中的点F在哪里？？

Answer 4

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