Question

已知函数f(x)=（ax^2-2x)e^(-x),在[-1,1]上为单调减函数，求实数a的范围

Answer 1

这个题目应该用导数做
先求导：f'(x)=(ax^2-2x)'e^(-x)+(ax^2-2x)[e^(-x)]' =(2ax-2)e^(-x)+(ax^2-2x)'[-e^(-x)]
=[2(a+1)x-ax^2-2]*e^(-x),
f(x)在[-1,1]上为单调减函数，则其导函数f'(x)<=0在[-1,1]上恒成立,
而e^(-x)必定大于0，所以2(a+1)x-ax^2-2<=0在[-1,1]上恒成立,
记g(x)=-[2(a+1)x-ax^2-2]=ax^2-2(a+1)x+2,则g(x)>=0在[-1,1]上恒成立,
下面讨论二次项系数：
(1)a=0时，g(x)=-2x+2在[-1,1]上g(x)>=0，符合条件；
(2)a<0时，g(x)的图象为经过点(0,2)开口向下的抛物线，要使g(x)>=0在[-1,1]上恒成立,
只要使g(-1)>=0且g(1)>=0且a<0，可得-4/3<=a<0；
(3)a>0时g(x)的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=2(a+1)/(2a)=1+1/a>1,
对称轴在区间[-1,1]右侧，则g(x)在x=1时取得最小值，要g(x)>=0在[-1,1]上恒成立，
只要g(1)=a-2(a+1)+2=-a>=0，即a<=0，与a>0矛盾，无解。
综上，a的取值范围是：-4/3<=a<=0。

Answer 2

由函数f(x)=（ax^2-2x)e^(-x),在[-1,1]上为单调减函数，有：
f(-1)>f(1)。 即(a+2)e>(a-2)/e ， (e^2-1)a>-2(e^2+1) ，
所以 a>-2(e^2+1)/(e^2-1)。
故实数a的范围是：a>-2(e^2+1)/(e^2-1)。