Question

若f(x)是偶函数，且当x∈[o,+∞)时，f(x)=x-1，求不等式f(x^2-1)<0的解集

Answer 1

happylemonmeng，你好：
当x∈（-∞，0)时，-x∈(o,+∞),因函数是偶函数，故有f(x)=f(-x)=-x-1,故0=f(1)=f(-1).
故令x^2-1>=0,则原不等式等价于 0<=x^2-1<1，解得-sqrt2<x<=-1或者1=<x<sqrt2.
当x^2-1<0,则原不等式等价于-1<x^2-1<0, 解得-1<x<1.
两者结合，解集为(-√2,0)∪(0,√2)

Answer 2

-1<x<1时 f(x^2-1)=1-x^2-1=-x^2<0 解集为(-1,0)∪(0,1)
-∞<x≤-1时f(x^2-1)=x^2-1-1=x^2-2<0 解集为(-√2,-1]
1≤x<+∞时f(x^2-1)=x^2-1-1=x^2-2<0 解集为[1,√2)

综上，不等式f(x^2-1)<0的解集为(-√2,0)∪(0,√2)

Answer 3

解:f(1)=0
当x≥0,f(x)为增函数，f(x^2-1)<f(1)
得:0≤x^2-1<1
即：-√2<x≤-1或1≤x<√2
当x<0,f(x)为减函数，f(x^2-1)<f(-1)
得-1<:x^2-1<0
即：-1<x<1
总上：X∈（-√2，√2）