Question

向量的线性表示一定是线性相关的吗？

Answer 1

是线性相关。理由如下：

n个向量的向量组，至多表示n维线性空间。如果它能表示n维，就是线性无关的，满秩的，秩为n. 1个非零向量，可以表示1维线性空间，所以秩为1，满秩。注意，向量组所对应的矩阵不一定是方阵，所以这里的满秩指的是秩等于向量的个数。

n个向量的向量组，如果不能表示n维空间，至多能表示k维空间，k＜n，那么这个向量组线性相关，秩为k。

扩展：

只由一个零向量构成的向量组，可以定义为线性相关。虽然没有别的向量，但是零向量不能表示任何维度，1个向量只能表示0维线性空间，故线性相关。

线性无关以下几个定义基本上是等价的：

1.向量组所有向量的线性组合，若系数不全为0，则结果一定是非零向量。

2.n个向量的向量组能表示n维线性空间。

3.n个向量的向量组的秩等于n。

4.向量组中任何一个向量，都不能被其它向量线性表出。

5.向量组中去除任何一个向量，都会降秩。