Question

过点M（1，1）作直线与椭圆 X2/9+Y2/4=1交于A、B两点，M恰为AB中点，求直线方程

Answer 1

设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y-1=k(x-1)，
化简得：y=kx+(1-k)。
将其代入椭圆方程：4x²+9y²=36，
得：(4+9k²)x²+18k(1-k)x+9(1-k)²-36=0。
由伟达定理，A、B两点的横坐标x1、x2满足：
(x1+x2)=-18k(1-k)/(4+9k²)。
M恰为AB中点，即M点的横坐标等于（x1+x2）/2，
即：-9k(1-k)/(4+9k²)=1，
化简得：-9k+9k²=4+9k²，
解得； k=-4/9。
所以所求直线方程是：y=-4/9x+13/9，
化简得：4x+9y-13=0 。

Answer 2

y-1=k(x-1)
y=kx+(1-k)
代入4x²+9y²=36
(4+9k²)x²+18k(1-k)x+9(1-k)²-36=0
中点横坐标=(x1+x2)/2=-9k(1-k)/(4+9k²)=1
-9k+9k²=4+9k²
k=-4/9
所以是4x+9y-13=0