Question

已知A、B为两个大于b的自然数,且A+B=60,如果A与B的最大公因数为b,那么A*B=？

Answer 1

设A和B的最大公因数为b，则可以将A和B分别表示成b的倍数和b与另外一整数的积的形式，即：
A = mb，B = nb'，其中m、n均为正整数，且b'是除b以外的正整数因子。
由于A + B = 60，带入上述表达式，得到：
mb + nb' = 60
两边同时除以b，得到：
m + n(b'/b) = 60/b
由于m和n都是正整数，所以b'/b必须是一个整数，因此b'可以写成k*b的形式，其中k是大于等于2的正整数。将其代入上式得到：
m + nk = 60/b
因为m和n都是正整数，所以nk >= 2k，又因为A、B都大于b，所以m和n至少都为2，因此nk >= 4。因此，有：
60/b = m + nk >= 4 + k >= 6
也就是说，b <= 10。
现在考虑b取不同的值时，A与B的取值情况：
当 b = 2 时，由于A和B都是偶数，则它们的和60也是偶数，但是60不能被2整除，矛盾。因此，b不能等于2。
当 b = 3 时，根据上面的推导，得到m + n = 20/b = 6，所以m = 2，n = 4。因此，A = 2b = 6，B = 4b = 12。可以验证，A和B的最大公因数确实是b，且AB = 6×12 = 72。
当 b = 4,5,6,7,8,9 或 10 时，类似地进行分析，可以确定A和B的值及其最大公因数，但不会满足A+B=60这个条件。
综上所述，最后得出结论：当A与B的最大公因数为b，且A+B=60时，如果A、B都是大于b的正整数，则A*B=72（此时有b=3）。