Question

想问一个高中数学解三角形求范围的题

想问一下我的做法为什么不行，标答的思路是什么

Answer 1

只要是取值范围的题都有一个特征：

要么这2个变量是一个类型的变量，走基本不等式；要么归一成同一个变量，走函数性质（无论是普通函数还是三角函数）

你把a²换成4sin²C请问目标式子现在是几个变量？这两个变量性质一样吗？！怎么可能解得出结果？！

另外我怎么没有理解你这个R=sinC/sinA是啥玩意？！

这题(2)发生的是正弦定理，a/sinA=c/sinC

a=csinA/sinC=2sinC

b=c=2sin²C/sinA=2sin²C/sin2C=sinC/cosC

至此a²+b²=4sin²C+(sinC/cosC)²=f(C)，这起码是一个关于C的函数。

之后才是通分，换元，把cosC也归一化为sinC

之后你写的换元也不好，直接令t=sin²C次数不就下来了吗？！

g(t)=4t+t/(1-t)=(4t²-5t)/(t-1) (t∈(1/2,1))

最后这个g(t)是个单调递增的函数，并且t→1时g(t)→+∞，这一题结果为(3,+∞）

Answer 2

(2)a=2sinC,
b=c=asinC/sinA=2(sinC)^2/sin(π-2C)=sinC/cosC,
所以a^2+b^2=4(sinC)^2+(sinC)^2/(cosC)^2,
设t=(cosC)^2∈(0,1),则
w=a^2+b^2=4(1-t)+(1-t)/t
=3-4t+1/t是减函数，
w(0+)→+∞,w(1-)→0,
所以a^2+b^2的取值范围是(0,+∞).