Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c的图像的最高点M的坐标为（－3，2），且图像与x轴交于A、B两点，△AMB的面

已知：二次函数y=ax²+bx+c的图像的最高点M的坐标为（－3，2），且图像与x轴交于A、B两点，△AMB的面积为4，求这个二次函数的解析式

Answer 1

S=AB*2/2=4,AB=4,因抛物线关于X=-3对称,A点坐标为(-5,0),B点坐标为(-1,0),将A,B,C三点坐标代入抛物线方程解得a=-1/2,b=-3,c=-5/2
y=-x^2/2-3x-5/2

Answer 2

因为二次函数y=ax²+bx+c的图像的最高点M的坐标为（－3，2），
所以a<0，且 -b/2a=-3，(4ac-b^2)/4a=2，
即 b=6a， 4ac-b^2=8a。
又图像与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，
所以x1，x2是方程ax²+bx+c=0的两个解，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
所以 |x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=b^2/a^2-4c/a=(b^2-4ac)/a^2，
将4ac-b^2=8a代入，得：
|x1-x2|^2= -8/a
又△AMB的面积为4，即 1/2*|x1-x2|*2=4，|x1-x2|= 4。
所以 -8/a=16， a=-1/2。
将a=-1/2代入b=6a， 4ac-b^2=8a，得：
b=-3， c=-5/2。
故所求二次函数的解析式： y=-1/2*x²-3x-5/2。