Question

如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，已知CD=3，BD=5，求△ABC的面积

如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，已知CD=3，BD=5，求△ABC的面积

Answer 1

过D点作AB的垂线交AB于点E，因为DA 平分∠BAC，所以∠DAC=∠DAE，
又因为DA=DA，∠DCA=∠DEA=90°，
所以△DAC全等于△DAE。 所以DE=DC=3，EA=CA。
在直角三角形BED中，BD=5，DE=3，所以 BE=4。
设CA=EA=x，则：在直角三角形BAC中，CB=8，CA=x，BA=4+x，
所以 x^2+8^2=(4+x)^2 ，解得： x=6。
所以三角形ABC的面积为：1/2*8*6=24。

Answer 2

∵BC平分∠BAC,BC⊥AC,DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90º
DC=DE=3
∵BE²=BD²－DE²
即BE²=25-9
∴BE=4
在△ACD与△ADE中，
∵CD=DE
AD=AD
∴△ACD≌△ADE(HL)
∴AE=AC
设AE=AC=x,
∵AC²＋BC²=AB²
∴x²＋8²=(x＋4)²
解得：x=6
∴S△ABC=½×AC×BC=24

Answer 3

解：
作DE⊥AB于点E
因为AD是角平分线
则AC=AE，CD=DE=3
∵BD=5
根据勾股定理AE=4
设AC=x
则AE=x，AB=4+x
∴(4+x)²=x²+8²
解得x=6
∴AC=6，AB=10，BC=8
所以△ABC的面积=1/2*6*8=24

Answer 4

过点D作DE垂直AB交AB交于E
因为角CAD=角EAD,AD公用，所以，直角三角形CAD全等于直角三角形EAD
所以，ED=CD=3
在直角三角形DEB中,DB=5,ED=3
所以，EB=4
又因为角CBA=角EBD
所以，直角三角形CBA相似于直角三角形EBD
所以，AC\DE=BC\BE即AC\3=(3+5)\4
所以，AC=6
所以，三角形ABC的面积=6*8\2=24

Answer 5

由角平分线的定义可以知道：DC=DE=3
AC=AE(两三角形全等)设为X
BE=4(由勾股定理得)
sinB=3/5=X/(x+4)
cosb=4/5=8/(x+4)
上面两式相比得：x=6
算的三角形面积为24