Question

高中数学问题（导数）

函数f(x)=x+2cosx,在区间｛0，π/2｝上的最大值是_________

写出过程

Answer 1

请问：“区间｛0，π/2｝”是不是“闭区间[0，π/2]”?
解：f'(x)=1-2sinx
令f'(x)=0
则sinx=1/2
由于x∈[0，π/2]
则x=π/6
当x∈(0,π/6)时，0<sinx<1/2,f'(x)>0
当x∈(π/6,π/2)时，sinx>1/2,f'(x)<0
即f(x)=x+2cosx在区间(0,π/6)内为增函数，在区间(π/6,π/2)内为减函数。
故当x=π/6时，f(x)取得最大值，最大值为f(π/6)=π/6+√3.

Answer 2

导数为1-2sinx=0得到sinx=1/2,x=π/6
在区间[0，π/6]上导数为正，在[π/6，π/2]上导数为负，原函数先增后减。所以在x=π/6取到最大值
（π/6）+3^(1/2)

Answer 3

f(x)=x+2cosx求导，f(x)'=1-2sinx ，令f(x)'=0解出驻点：sinx=1/2,又因为x属于｛0，π/2｝，所以x=π/6，
然后函数最大值只可能在边界或者驻点处取得，所以将0，π/2和π/6分别代入，最后发现当x=π/6时函数取最大值为π/6+√3