Question

求高中数学<圆锥曲线与方程>的知识点总结

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Answer 1

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Answer 2

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

一、圆锥曲线的方程和性质：

1）椭圆

 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。   

标准方程：   

1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1  

 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.   

2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1

   其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.   

参数方程：

  X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r)

2）双曲线

 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。   

标准方程：   

1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 

   其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.   

2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.  

 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.   

参数方程：

  x=asecθ y=btanθ (θ为参数 ) 

3）抛物线

标准方程：   

1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px    其中 p>0

2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px    其中 p>0

3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py    其中 p>0  

4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py    其中 p>0    

参数方程  

 x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0   

直角坐标  

 y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )   

圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为  

 ρ=ep/(1-e×cosθ)   其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。  

二、焦半径

圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。   

圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：   

椭圆    |PF1|=a+ex   |PF2|=a-ex   

双曲线   P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex   

           P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex   

           P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey   

           P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey   

抛物线   |PF|=x+p/2   

三、圆锥曲线的切线方程   

圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程

以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y  

即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;

双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；

抛物线:y0y=p(x0+x)

四、焦准距

圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。   

椭圆的焦准距:p=(b^2)/c   

双曲线的焦准距:p=(b^2)/c   

抛物线的准焦距:p

五、通径

圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。  

椭圆的通径:(2b^2)/a   

双曲线的通径:(2b^2)/a   

抛物线的通径:2p

六、圆锥曲线的性质对比

见下图：

七、圆锥曲线的中点弦问题

  已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程   

⒈联立方程法。  

 用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。   

2.点差法，或称代点相减法。  

 设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0   由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）