Question

矩阵的逆是什么？

Answer 1

若矩阵为方阵且其逆矩阵存在时，矩阵的逆的转置 等于 矩阵的转置的逆。

注意;只有方形矩阵才有矩阵的逆，而非方形的叫做“矩阵的伪逆”，此处只论方阵。其次只有当方阵的行列式不为0时，其逆矩阵才存在，故这里只讨论其行列式不为0的方阵（只要有任意一行或一列全文0的方阵，其行列式值为0，但不仅限于此）.

先算矩阵的逆的转置

算此矩阵的转置的逆

故证明成立。

扩展资料：

逆矩阵的性质

性质定理

可逆矩阵一定是方阵。

如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明

逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O

2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

得B-C=O，即B=C。

可逆等价条件

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且

其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。

证明：

必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。

由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1

则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有  

（其中  是的伴随矩阵。）

当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

参考资料：百度百科-逆矩阵