Question

如何解一元三次方程的通解？

Answer 1

微分方程求通解的方法：

1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y（x）=C1*e^（λ1*x）+C2*e^（λ2*x）。

2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y（x）=（C1+C2*x）*e^（λ1*x）。

3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-（i*β），通解为y（x）=e^（α*x）*（C1*cosβx+C2*sinβx）。

微分方程的通解：

1、两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）

2、两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）

3、一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）

常用的微分算子法：

1、使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y。

2、于是y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）可化为（D^2+pD+q）y=f（x），令F（D）=D^2+pD+q，称为算子多项式，F（D）=D^2+pD+q即为F（D）y=f（x），其特解为y=f（x）/F（D）。