Question

求解高中不等式加函数的题

已知函数F(x)=e^x－1，(x>0)， 0<p<q， 其反函数为F-1(x)
证明F(q－p)>F-1(q－p)>F-1(q)－F-1(p)

Answer 1

反函数为F-1(x)=ln(x+1)
即证：e^(q-p)>ln(q-p+1)>ln(q+1)-ln(p+1)
即证：lne^e^(q-p)>ln(q-p+1)>ln(q+1)/(p+1)
即证：e^e^(q-p)>(q-p+1)>(q+1)/(p+1)
先证：e^e^(q-p)>(q-p+1)
设y=e^e^x-(x+1) 其中x=q-p>0
y'=e^e^x*e^x-1
很显然x=>0
y'>0,y为单增
x=0时，y>0
所以e^e^(q-p)>(q-p+1)
再证：(q-p+1)>(q+1)/(p+1)成立
必证：(q-p+1)(p+1)>q+1成立
必证：pq-p^2>0成立
必证：p(q-p)>0成立
很显然由0<p<q，p(q-p)>0成立
所以：(q-p+1)>(q+1)/(p+1)
所以F(q－p)>F-1(q－p)>F-1(q)－F-1(p)

Answer 2

证：F（x）=e^x-1(x＞0).反函数为ln(x+1),(x＞e-1).
F(q-p)=e^(q-p)-1...........①
F-1(q-p)=ln(q-p+1)，（q-p＞e-1）........②
F-1(q)-F-1(p)=ln(q+1)-ln(p+1)=ln(q-p)......③
显然②＞③。
①-②=e^(q-p)-1-ln(q-p+1)=e^(q-p)-lne(q-p+1)＞0.
即①＞②＞③。本题得证。