Question

高二数学问题！请大家帮忙！！

1。以知M是抛物线C：x^2=4y上的动点,过M作y轴的垂线MN,垂足为N,记线段MN的中点为E.
(1)求E的轨迹方程
(2)若点P是曲线E上的任意一点,求点P到直线y=x-2距离的最小值,并求出此时点P的坐标.
2.以知点M(-2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=2倍根号2,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA乘OB的最小值.
3.以知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被x轴截得的弦长为4倍根号2,求圆C的方程.

Answer 1

1，（1） 设M点坐标为（x，y），由题可知，线段MN的中点为E坐标为（x/2，y）。
因为M在抛物线C：x^2=4y上，即 x^2=4y， （x/2）^2=y。
所以E的轨迹方程为：x^2=y 。
（2） 设点P坐标为（x，y），则：x^2=y 。
点P到直线y=x-2距离为：d=|x-y-2|/根号2=|-x^2+x-2|/根号2=|-(x-1/2)^2-7/4|/根号2，
而 -(x-1/2)^2-7/4 在x=1/2时，有最大值 -7/4，
所以当x=1/2时，|-(x-1/2)^2-7/4|有最小值 7/4，
所以点P到直线y=x-2距离的最小值为： 7/4/根号2=7/8*根号2。
此时点P的坐标为（1/2，1/4）。
2，（1） 由题可知，动点P的轨迹是双曲线，且焦点在x轴上。
设W的方程为： x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a>0, b>0)，
则 c=2，即a^2+b^2=c^2=4。
动点P满足条件|PM|-|PN|=2倍根号2，则当P点为顶点（a，0）时，
有（a+2）-（2-a）=2根号2， a=根号2。
所以 a^2=2，b^2=2。
所以 W的方程为： x^2/2-y^2/2=1 。
（2） 由双曲线x^2/2-y^2/2=1的图象可知，
当且仅当A、B为双曲线的顶点时，OA=OB有最小值 ：根号2，
也即 OA*OB的最小值2。

PS：这题也可通过设A、B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
|OA|=根号(x1^2+y1^2)，|OB|=根号(x2^2+y2^2)，
这种方法来求。

3，设圆的半经为r，因为圆和y轴相切，所以圆心的横坐标为r，
又因为圆心在直线x-3y=0上，所以圆心的纵坐标为r/3。
由被x轴截得的弦长为4倍根号2，可得：
r^2-(r/3)^2=(2根号2)^2， 解得：r=3。
故圆心的坐标为（3，1），圆的半经为3。
所以圆C的方程为：(x-3)^2+(y-1)^2=9。

Answer 2

1(1)设E(x,y),则M（2x，y）满足4x^2=4y,即x^2=y
(2)设y=x-b与曲线相切，联立
x^2=x-b,x^2-x+b=0判别式1-4b=0，b=1/4，切点即为P（1/2，1/4）
y=x-2到y=x-1/4距离即最小距离=7根号2/8

2（1）c=2,a=根号2,b=根号2
W为双曲线x^2/2-y^2/2=1的右支
（2）OA乘OB若是向量乘=|OA|*|OB|cosAOB最小值为0，即OA垂直OB

3画图，设圆心C（3y，y）
半径|3y|，C到x轴距离为|y|
有（3y）^2=y^2+(2根号2)^2
9y^2=y^2+8,得8y^2=8,y=+/-1
C(3,1)或（-3，-1）r=3
圆为（x-3）^2+(y-1)^2=9或（x+3）^2+(x+1)^2=9

Answer 3

1（1）设E为(x,y),M(x0,y0),N(0,y0),E为MN的中点，所以x=x0/2,y=y0,所以x0=2x,y0=y,又点(x0,y0)在抛物线上，所以有x0^2=4y0,即4x^2=4y,x^2=y为E的轨迹方程。
（2）设P为(x0,y0)到直线的距离为d=|x0-y0-2|/2^(1/2)，又y0=x0^2即d=|x0-x0^2-2|/2^(1/2)，当x0=1/2时d取得最小值d=8分之7倍根号2；P为(1/2,1/4)
2 （1）由定义知平P的轨迹为双曲线的右支，方程为x^2/2-y^2/2=1 (x>0)
（2）乘是表示OA与OB的长度相乘还是向量相乘？
3因为圆心在直线x-3y=0上，所以设圆心坐标为o(3y0,y0)，与y轴相切，所以R=|3y0|，到x轴的距离为d=|y0|,且被x轴截得的弦长为4倍根号2，所以有R^2-d^2=8所以y0^2=1，y0=1或-1，所以R=3，圆心o为(-3,-1)或(3,1),所以圆的方程为(x+3)^2+(y+1)^2=9或(x-3)^2+(y-1)^2=9