Question

高手 能不能帮我解决一道题啊

已知三棱锥O-ABC.OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，求直线MN与AC所成角？（不建空间坐标系的情况下解出）M,N分别是OA，BC的中点

Answer 1

由勾股定理，AC=5，
取AB中点E，连结EN，ME，MC，
则ME和EN分别是三角形AOB和三角形ABC中位线，
ME=OB/2=5/2，
EN=AC/2=5/2，且EN//AC，则MN和AC的成角就是NE与MN的成角，
在三角形OBM中，根据余弦定理，MB=√19，
在三角形OMC中，根据勾股定理，MC=√13，
在三角形OBC中，根据余弦定理，BC=√19，
在三角形MBC中，根据中线定理公式，
2MN^2=MC^2+MB^2+BC^2/2,
MN=3√5/2，
证明很简单，只要用两次余弦定理，再相加，带余弦项正负相加为0，
在三角形MEN中，
ME=EN,是等腰三角形，
作EH垂直MN交MN于H，
NH=3√5/4，
cos<MNE=NH/EN=3√5/4/(5/2)=3√5/10,.
<MNE=arccos(3√5/10).
直线MN与AC所成角为arccos(3√5/10).

附：三角形中线定理证明：
设三角形ABC，AD是BC边上的中线，
根据余弦定理，AB^2=AD^2+BD^2-2*BD*AD*cos<ADB,(1),
AC^2=AD^2+CD^2-2AD*CD*cos<ADC.(2),
<ABD=180度-<ADC,
cos<ABD=-cos<ADC,
BD=CD=BC/2,
(1)+(2)式，
AB^2+AC^2=BC^2/2+2AD^2.