Question

在等腰梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于O，∠ABD=60°，E、F、G分别是OA、OB、CD的中点

（1）求证：2EG=CD
（2）若AD=2，BC=6，求三角形EFG的面积。
如图

Answer 1

连接DE、CF。（已知条件应该是：∠BDA = 60°）

（1）
在等腰梯形ABCD中，有：OA = OD ，OB = OC ，∠DBC = ∠BDA = 60° ，
可得：△OAD和△OBC都是等边三角形。

DE是等边△OAD的中线，可得：DE⊥AC ；
CF是等边△OBC的中线，可得：CF⊥BD ；
FG是Rt△CDF斜边上的中线，可得：FG = (1/2)CD ；
EG是Rt△CDE斜边上的中线，可得：EG = (1/2)CD ，即有：2EG = CD 。

（2）
EF是△OAB的中位线，可得：EF = (1/2)AB = (1/2)CD = EG = FG ，
所以，△EFG是等边三角形。

AE = OE = (1/2)OA = (1/2)AD = 1 ，
OC = BC = 6 ，
CE = OE+OC = 7 ，
由勾股定理可求得：DE = √3 ，CD = 2√13 ；
所以，EG = (1/2)CD = √13 ，
即有：等边△EFG的边长为 √13 ，
可得：△EFG的面积为 (13/4)√3 。

Answer 2

2EG=CD