Question

设ABCD为空间四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点，并且DH/HA=CF/FB=λ,DG/GC=AE/EB=μ

求证：E、F、G、H四点共面

Answer 1

(1)∵AE/BE=AH/HD=m
CF/BF=CG/GD=n
∴EH//BD FG//BD
∴EH//FG
∴根据两平行线确定一平面可知
EFGH4点共面

Answer 2

先处理特殊情况。若EH//FG，那直接有结论。否则，若其中之一不平行于BD那么由比例关系另一个也不平行于BD。设FG交BD于M，可以在BCD平面内求得BD和DM的比例，由lambda和mu表示。同样在平面ABD内，EH交BD于N，这时得到BD与DN有同样比例。所以MN重合，EH，FG相交于一点，命题得证。