Question

一道数学题，请详细解答，谢了

某地区共有100户农民从事蔬菜种植,据调查,每户年均收入为3万元,为了调整产业结构,当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工，据估计，如果能动员x（x＞0）户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3（a-3x/50)(a＞0)万元
（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于剩下从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a的最大值

Answer 1

解：
(1)0 < x <= 50
动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入为(100-x)*3*(1+2x%),要使它不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，即(100-x)*3*(1+2x%) >= 300.
解之得，0 <= x <= 50.由于x>0,故0 < x <= 50
(2)实数a的最大值是5.
100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入为3（a-3x/50)x，要使它不高于剩下从事蔬菜种植的农民的年总收入，即要求3（a-3x/50)x <= (100-x)*3*(1+2x%) .
化简，得a<=1+100/x+x/25.且该不等式对满足0 < x <= 50范围内的任意x成立。而当x=50时，1+100/x+x/25取到最小值。故满足条件的a值最大是1+100/50+50/25=5.

Answer 2

00< x <= 50