Question

平面图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体体积。

设曲线l的方程为lnx，曲线l的一条切线l1过原点。
求1。由曲线l。切线l1，以及x轴所围成的平面图形。
求此平面图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体体积

Answer 1

设切点坐标为P（x0,y0),
y'=1/x,
切线斜率k=(y0-0)/(x0-0)=y0/x0=1/x0,
y0=1,1=lnx0,x0=e,
切线方程为：y=x/e,
所围图形面积为：S=e*1/2-∫（1→e)(lnx)dx,(用分部积分）
=e/2-(xlnx-x)（1→e)
=e/2-[e-e-(0-1)]
=e/2-1.
由y=lnx,转成x=e^y,
V=π∫(0→1)(e^y)^2dy-πe^2*1/3
=(π/2)[e^(2y)](0→1)-πe^2/3
=πe^2/6-π/2,
其体积是去除空心圆锥部分，其底面积为πe^2,高为1，
也可写成π∫(0→1)(ey)^2dy=πe^2y^3/3(0→1)=πe^2/3.

Answer 2

求旋转体体积,请查看以下的网址的资料,看的过程中,要理解,不要去记公式,
http://math.bnu.edu.cn/~xum/Chapter6/6.2.2.pdf